2017 Fiscal Year Annual Research Report
Developments of the geometric topology of homology manifolds with curvature bounded above
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26610012
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
永野 幸一 筑波大学, 数理物質系, 講師 (30333777)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 幾何学 / リーマン幾何（含幾何解析） / CAT(k)空間 / アレキサンドルフ空間 / ホモロジー多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
最終年度である平成29年度は，研究を総括しながら，研究期間内に得られたLytchak氏との一連の共同研究の成果を公表するため，研究論文の執筆作業に従事した，実際に，第一歩となる最初の研究論文を完成することができた．最初の研究論文をLytchak氏と共同で執筆するにあたり，CAT(k)空間に対して自然な体積測度を新たに構成して，次の測度付きグロモフ・ハウスドルフ位相に関するプレコンパクト性定理を得た．
定理．局所コンパクトで測地的完備なCAT(k)空間に対して，局所有限かつ局所正値な正則ラドン測度が一意的に定まり，その標準測度を任意のm次元部分集合に制限するとm次元ハウスドルフ測度に一致する．さらに，コンパクトで測地的完備なCAT(k)空間列に対して，その標準測度が一様有界であることと，測度付きグロモフ・ハウスドルフ位相に関してプレコンパクトであることは必要十分である．
さらに，CAT(k)空間上のDC関数に対して，次の2階微分可能性定理を証明した．ここで，関数がDC級であるとは2つの凸関数の差として表されるときにいう．
定理．局所コンパクトで測地的完備なCAT(k)空間上の任意のDC関数fに対して，標準測度に関してほとんど至るところヘッシアンが定義でき，fはアレキサンドルフ（テイラー展開）の意味で2階微分可能である．
これらの定理の証明では，局所コンパクトで測地的完備なCAT(k)空間の局所構造に関するLytchak-研究代表者の研究を効果的に用いる．これらの研究成果は，一般のCAT(k)空間に対する測度距離空間上の幾何解析の発展を促すものである．CAT(k)ホモロジー多様体の計量的な微分幾何学を将来的に発展させて幾何学的トポロジーを展開する上で土台となり得る研究成果である．
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