2015 Fiscal Year Research-status Report
非正則非等方的平均曲率一定超曲面及び超曲面群の研究の新展開
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26610016
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
小磯 深幸 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (10178189)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
本多 正平 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (60574738)
本田 淳史 都城工業高等専門学校, 一般科目理科, 講師 (90708611)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | ローレンツ・ミンコフスキー空間 / ローレンツ多様体 / 非等方的エネルギー / 変分問題 / 平均曲率一定曲面 / ウルフ図形 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. ローレンツ・ミンコフスキー空間内の空間的非零平均曲率一定曲面（以下、CMC曲面と記す）は折り目特異点を持たないこと、錐状特異点を持つ空間的非零CMC回転面の共役CMC曲面は(2;5)-カスプ状特異点を持つことを証明した（本田淳史氏、佐治健太郎氏との共同研究）。これらの結果は、非零CMC曲面の特異点が平均曲率零曲面の特異点と本質的に異なる性質を持つことを意味する。
2. 3次元実解析的ローレンツ多様体内の空間的曲面で平均曲率有界なものが実解析的に時間的曲面に延長されるならば、平均曲率関数は光的部分で零になる（収束する）ことを証明した（本田淳史氏他との共同研究）。この結果もまた、非零CMC曲面と平均曲率零曲面の特異点の本質的に異なる性質を与えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ローレンツ・ミンコフスキー空間内の平均曲率一定曲面は、ユークリッド空間内の非等方的平均曲率一定曲面とみなすことができ、上述の研究成果は本研究課題「非正則非等方的平均曲率一定超曲面及び超曲面群の研究の新展開」の研究が順調に進展していることを示している。
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| Strategy for Future Research Activity |
曲面の非等方的エネルギーの臨界点についての研究を進める。エネルギー汎関数に対する凸性は仮定せず、解として特異点を持つ曲面（たとえば、区分的に滑らかな曲面）を許容する。また、エネルギー密度関数がノルムを与えるという仮定もおかない。下記の1-4の研究は、非等方的エネルギー密度関数は正値であるという仮定のもとで行う。その後に、非等方的エネルギー密度関数が零をとることも許容し、ローレンツ空間内の平均曲率一定曲面についての因果型によらない統一理論の構築を検討する。
1. 非等方的エネルギー密度関数がC2級であるという仮定のもとで、2次元ユークリッド空間内の区分的に滑らかな閉曲線で、囲む面積を変えない変分に対する非等方的エネルギーの極小値を与えるものはウルフ図形に相似なもののみである。この研究成果を論文にまとめる。
2. 非等方的エネルギー密度関数がC2級であるという仮定のもとで、2次元ユークリッド空間内の区分的に滑らかな単純閉曲線で、囲む面積を変えない変分に対する非等方的エネルギーの臨界点を与えるものはウルフ図形に相似なもののみであろうか。この問題の解答を与える。
3. 非等方的エネルギー密度関数がC2級であって、ウルフ図形またはカーン・ホッフマン場の像がfacet(超平面の部分集合)を含む場合があるか否かを調べる。
4. 上記の1及び2を一般次元空間内の超曲面に拡張する。
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| Causes of Carryover |
発注した書籍の入荷が遅れたため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
研究に必要な書籍を購入する．
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