量子統計力学による距離空間のモジュライの構成、その特異性と偏極

2015 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 26610017
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 大津 幸男 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (80233170)
• Project Period (FY): 2014-04-01 – 2017-03-31
• Keywords: ラプラシアン / ランダム離散化 / 量子統計力学

Outline of Annual Research Achievements

前年に引き続き，曲率の下の制限のあるコンパクトなアレクサンドルフ空間で，ランダムな有限ネットから構成されるラプラシアンを用いて統計力学を構成し，その自由エネルギーの摂動から粗モジュライ空間（＝空間とネットの対からなる全空間）に導かれるリーマン計量の研究を行った．この計量は（逆）温度に依存して決まり，ある種の単調性を有し，温度無限大で発散している．逆温度は空間の見方の粗さ（細かさ）に関係していると考えられる．この計量（の列）に関して，温度グリーン関数の表示をあたえ，それと計量との関係を明確化し，対応する諸量の経路積分による表示，ファインマンダイヤグラムによる表示を与えた．全ての温度で計量が定まる場合と温度が低いときは定義されるが，ある温度で無限大になる場合があるが，これはある種の相転移と考えることが出来る．空間及びネットの連続変形が不可能な場合にこのようになることを確かめ，その温度を空間の変形の障害として定義した．これはある意味ハウスドルフ距離とモジュライ空間の融合をめざしたものである．また，連続変形が可能な場合に，この計量はネットの組の取り方に依存しており，空間の摂動より詳しい情報を持っているので，ネットの取り替えの方向と真の変形の向きとに分解される．これらの平均に当たるものを考え，温度を無限大に飛ばして，スケール変換したものが真のモジュライ空間に対応するはずであり，簡単な場合にこれを確かめた．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

理学部の新棟への引越，教育，事務量の増加のため纏まった研究時間の確保が出来なかったため．

Strategy for Future Research Activity

統計力学にはボソンとフェルミオンの理論があり，それらの間に対応があると予想されている．これまで調べた理論はボソンに対応するラプラシアンのものだが，フェルミオンに対応するディラック作用素の理論に対応する計量を構築し，複素幾何・代数幾何との関連を調べたい．

Causes of Carryover

教育，事務，引越等の増加のため，研究費の消化が遅れた．

Expenditure Plan for Carryover Budget

出張の量を増やして対応したい．