2015 Fiscal Year Research-status Report
Kardar-Parisi-Zhang 方程式の確率解析的研究
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26610019
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
舟木 直久 東京大学, 数理科学研究科, 教授 (60112174)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
笹本 智弘 東京工業大学, 理工学研究科, 准教授 (70332640)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 確率論 / 解析学 / 統計力学 / 数理物理 / 関数方程式論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) 方程式の研究は、一昨年の国際数学者会議においてフィールズ賞受賞者を生み出した後、世界的な規模で爆発的に進展している。この方程式は、非線形項と時空ホワイトノイズとよばれる確率項の非協調性により、そのままでは数学的に意味のある解を持たず、非線形項からの発散の除去が必要不可欠である。
研究代表者の舟木は、多成分がカップルした KPZ 方程式についての解析を深めた。この方程式は、流体力学揺動理論において重要な役割を果たし、保存則を複数個持つような系からスケール極限の下で導かれると考えられている。非線形項は発散を含み、ノイズ項の近似および繰り込みの操作が必要である。本年度は、単純な近似を行った場合と、不変測度の解析に適した近似を行った場合の、繰り込みの違いをパラコントロール理論を用いて解析した。スカラー値単独の KPZ 方程式の場合に得られた定数 1/24 に相当する定数を多成分 KPZ 方程式の場合に求めることに成功した。
研究分担者の笹本は、量子群に関連する代数的構造を用いることにより、自己双対性を持つ非対称多体拡散模型を構成した。これは適当な極限においてKMPモデルとして知られる熱輸送模型の非対称版も含んでいる。また、O'Connell-Yorモデルと呼ばれる有限温度ポリマー模型に対し、ランダム行列理論に現れるのと同様な行列式構造があることを見出した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
パラコントロール理論の創始者である Gubinelli 教授（ボン大学）との議論を通し、多成分がカップルしたKPZ方程式に関する研究を進展させることができた。また、ポリマー模型において新たに行列式構造があることを見出した。
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| Strategy for Future Research Activity |
多成分KPZ方程式に対するエネルギー評価を導き、時間大域解の存在と一意性を示すことを次の目標に据えている。ただし、パラコントロール理論の枠内で行う必要があり、困難を伴うことが予想される。偏微分方程式の古典理論との融合を目指す。また、KPZ方程式のマルチンゲール問題としての定式化であるエネルギー解に関する解析を進める。
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