2015 Fiscal Year Research-status Report
多次元ボロノイ非構造格子を用いた偏微分方程式の構造保存数値解法
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26610038
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
降籏 大介 大阪大学, サイバーメディアセンター, 准教授 (80242014)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 構造保存数値解法 / ボロノイ格子 / 偏微分方程式 / 局所保存則 / 大域保存則 / 離散変分導関数法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
目的および計画に従って、これまでの研究に引き続き、数学的な理論構築についてボロノイ格子の数学的性質について研究を行った．特に、一般的な格子、すなわち直交性をもたずトポロジー的な形状が一定でないような格子に対して格子形状と微積分則の間に成り立つ局所的関係を構築すべく研究を推進した．まず、平面上のボロノイ格子において離散ガウス-グリーン則を構成することに既に成功しているため、これについてさらなる数学的性質の評価と定式化を行った．低い階数での局所則についてもっとも粗い精度での評価はほぼ予測通りであったが、一般化された形での評価ではなく、微積分の階数によらない一般的な数学的表現が必要であることが明確になってきている．
また、こうしたガウス-グリーン則とボロノイ格子分割における境界条件の扱いは互いに制約を与え合う関係にあることが明らかになりつつある．最もシンプルな方法は純粋な点近似に基づくものでこれは取り扱いが容易で制約も少ないが精度が低く、領域内部の計算結果の精度を下げてしまうため、この問題の解決は必要である．
またボロノイ格子をはじめ、こうした非正則格子上での局所則について、もっとも単純なガウス-グリーン則評価をはじめ有用な知見が有限体積法などの文献等に存在する可能性を考慮し文献調査を行った．ホッジ作用素の離散化についての研究や外微分形式との関連性について以前よりわれわれが指摘しているように、これらの分野についても調査を進めた．また，予定通り，応用数学の専門家が集まる国際会議 SciCADE (International Conference on Scientific Computation and Differential Equations) および ICIAM (International Congress on Industrial and Applied Mathematics)にて研究発表を行い、研究交流をすすめた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究第二年度の計画の第一項は通常の議論で得られるボロノイ格子上の差分作用素およびその局所則の精度が一次オーダーであることに対してこの近似精度の低さを解消するために高次ボロノイ差分作用素の数学的な定義を提案することとその上での局所則を探ることを目指してその数学的な基礎づけを準備することとなっていた．単純に順次高次化するだけではなく任意の次数に対して定義が可能な理論展開が望ましいため、本目的に対して微分作用素を基底トポロジーを介して離散化する方向性を検討し、ホッジ作用素について研究を進めた．これは主に微分形式に基づく数学的な理論であり直接の離散化へはいくつかの段階を経る必要があることなどが明確になった．
また、計画第二項は、計画目的の後半二つの計画に向けて研究を推進することとなっていた．これは二次元上ボロノイ格子から三次元以上の問題への拡張と、カーン・ヒラード方程式や非線形シュレディンガー方程式などの、定義域が多次元領域であるような現実の非線形偏微分方程式への適用による実用的な貢献への準備である．
三次元以上の多次元問題へのボロノイ格子の単純な拡張はほぼ自明であるが、その格子上のガウス-グリーン則のような局所則がどのようになるかは非自明であると同時に困難である．これについて、局所則の数学的な基礎となると思われる flat 則およびさらにその基礎である放射則については、格子空間の単体分割を通じてある程度の評価が可能であるとの予想を得た．またこの知見の裏付けとなる数値解析的な補足の準備を始めた．
さらに国際研究集会 SciCADE および ICIAM へ参加し、多くの専門家と交流するとともに自分も講演を行い離散変分導関数法とその応用、ボロノイ差分について広く議論を行うことができたことなどから，全体にも充分な達成を見たと認識しているものである．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成28年度は以下の計画を主に行う．まず，これまでの研究に沿った調査と研究推進を引き続いて行う．特に、領域の次元が三次元、四次元と高くなると離散ガウス-グリーン則などの離散局所則の数学的な定義とその性質の証明が困難になるため、これは大きな挑戦課題である．最終的に、なるべく汎用的な離散局所則を確立し、それに基づいた計算を通じて変分原理の離散化を狙う．
また、高次元領域での境界条件の高精度化に関する研究も引き続いて推進する．一般に、高次元領域では制約数より自由度のほうが高く、優れた指導原理の導入が必要である．これについてははやり離散変分原理に基づいて数学的な提案を与えたい．
そして研究計画にあげた第二、第三の目標に対する研究も行う．二次元、三次元といった実用的な問題領域においては有限要素法での形状自由度の理論的な補償として補間誤差を評価するセアの補題に対応するボロノイ格子離散化での類似評価が必要とされるため、近年の二次元三角格子上での離散近似評価などを利用してこうした評価を与えることを目標とする．この二次元三角格子上の関数の離散近似評価は大変数学的に緻密な形で与えられていることから、まずはこの評価とボロノイ格子の双対グラフであるドロネー三角形分割を組み合わせることでボロノイ格子上の関数の離散近似評価を行う．これは達成されれば多くの問題の誤差について事前に一定の評価を得られる期待が持てる．そしてさらにこの評価を三次元以上への領域における問題に拡張を試みる．そしてこれらの研究成果を適用して、多次元問題における現実問題である非線形偏微分方程式、例えばカーン・ヒラード方程式や非線形シュレディンガー方程式の優れた数値解法を構成することを目標とする．
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| Causes of Carryover |
本研究そのものの進展や構造保存数値解法の国内外における研究の隆盛により、計画調書作成時において予測していたよりも国際、国内両方の研究集会等への出席、参加を要請される機会が大幅に増加し、そのために旅費支出が大きなものとなってしまった．
これを受け、計画当時に予定していた中型の高速計算機などのいくつかの機材の購入を次年度以降へと予定を修正したため、その差額分などによって若干ではあるが次年度使用額が生じたものである．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
先に述べた推進方策に沿って以下のように使用する計画である．まず、高次元空間領域問題に対しする局所則の研究であるがこの証明は困難なことが予測される．そのため、数式処理による計算支援と、予備数値実験が大変重要であるため、ワークステーションなどの購入費用確保とその上で動作するソフトウェアのライセンス料等に研究費をあてる．またドロネー三角分割格子における関数近似評価については二次元三角格子上の関数の離散近似評価の専門家やセアの補題に詳しい有限要素法の専門家との共同研究が適切であり，このための研究集会開催の費用や旅費等を計上する．
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Research Products
(3 results)
