2015 Fiscal Year Research-status Report
充足可能な制約充足問題に対する近似アルゴリズムの研究
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26730009
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| Research Institution | National Institute of Informatics |
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Principal Investigator |
吉田 悠一 国立情報学研究所, 情報学プリンシプル研究系, 准教授 (50636967)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 制約充足問題 / 近似困難性 / 高階フーリエ解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、充足可能な制約充足問題の近似困難性を明らかにすることである。充足不可能な場合には半正定値計画法を使えば最良の近似度が得られることが分かっているが、充足可能な場合には代数的なアルゴリズムでより良い近似度が得られる場合がある。代表的な例としては、線形連立方程式をガウスの消去法で解く、というものが挙げられる。また近似困難性を示す為には、性質検査と呼ばれる枠組みを用いることになる。これは、与えられた関数がある性質を満たすか、その性質を満たすにはほど遠いかを、その関数に定数回クエリするだけで判定するという枠組みである。
そこで本年度は、代数的な性質の性質検査について研究を行うこととした。一つ目の成果として、去年度に得られた「アフィン変換に閉じた関数の性質が定数クエリで検査可能である必要十分条件」という結果がACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA 2016)に採択された。定数クエリで検査可能な必要十分条件は、性質検査分野における究極の問いであり、それに答えることができた。
また有限群上の関数の性質検査に関する論文がRandom Structures and Algorithms誌に採択された。具体的には準同型性、既約指標の定数倍かどうか、またある固定された行列とユニタリ同型かどうかの検査が定数クエリで可能であることを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
これまでの研究を通じて代数的な性質の性質検査を扱う数学的道具が揃ってきた。具体的には高階フーリエ解析と表現論である。高階フーリエ解析では、関数を定数個の多項式と（多項式にとっての）ノイズの項に分解する。性質検査を考える上では前者の多項式だけが重要であり、これにより様々な解析が可能になる。（高階）フーリエ解析では、関数の入力が有限体の場合しか考えていないが、これを一般の群に拡張したのが表現論である。表現論を導入することによって、より広いクラスの関数が扱えるようになった。
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| Strategy for Future Research Activity |
去年度・本年度を通じて代数的な性質に関する性質検査を解析する道具が揃ってきたので、充足可能な制約充足問題の近似困難性を明らかにする研究を行っていく。
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