2014 Fiscal Year Research-status Report
非線形2次錐計画問題と非線形半正定値計画問題の方法と応用
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26730012
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
福田 秀美 京都大学, 情報学研究科, 助教 (40726361)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 2次錐計画問題 / 半正定値計画問題 / スラック変数 / 錐最適化問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では錐最適化問題，特に非線形計画問題（NLP），非線形2次錐計画問題（SOCP）及び非線形半正定値計画問題（SDP）に対して高速かつ効率的なアルゴリズムの設計，理論解析，応用問題の考案を目指す．その中で，平成26年度には，以前提案して理論解析を既に実施していた非線形SOCPに対する2乗スラック変数法のアルゴリズムを設計した．特に2乗スラック変数法を適用すると，複雑な非線形SOCPが良く知られていて開発の進んでいるNLPに再定式化されるので，汎用のNLPソルバーで解くことができる．2乗スラック変数法は一般のユーザーに使いやすいという利点があり，さらに数値実験ではほぼ全ての対象問題で解が得られることが確認できた．
もう一つの非線形SOCPに対する成果は応用問題関連である．ただし，現段階では現実の応用問題を考えるのではなくテスト問題（応用例）を作成した．なぜならば，非線形SOCPは線形SOCPと異なり，比較的新しいモデリング手法であるので，応用例自体がまだ少ないからである．そのため，これまで提案されている手法は数少なく，アルゴリズムの設計や数値実験の成果も十分ではない．そこで，通常のNLPと同様に，数値実験が実施しやすい環境を作るためには応用例を考える必要がある．現在は複数のテスト問題を考えており，いくつかの手法（例えば，2乗スラック変数法や逐次2次計画法）で実験が可能となった．
さらなる成果として，2乗スラック変数法を非線形SDPに拡張し，理論解析を実施した．具体的には非線形SDPの最適性の必要条件と2乗スラック変数を用いて再定式化された問題の最適性の必要条件の等価性を示し，制約想定との関連性を明らかにした．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成26年度の計画では，3つの目標を掲げた．1つ目の目標である2乗スラック変数法を用いた非線形SOCPのアルゴリズム設計は完了し，関連する論文を投稿して現在審査中である．2つ目の目標は異分野の問題への応用，特に無線広帯域通信のためのMIMO伝送システムへの応用であったが，内容を変更し，応用例としてのテスト問題を考案した．それは，現実問題への応用より，テスト問題を考案することによる数値実験環境の構築が先決だと判断したからである．3つ目の目標である2乗スラック変数を用いた非線形SDPの理論解析は全て完了し，現在は論文を執筆中である．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成27年度以降では計画通り，非線形SDPに対して2乗スラック変数法だけでなく，正確なペナルティ法と呼ばれる手法のアルゴリズム設計及び数値実験を目指す．また，非線形SOCPと同様に非線形SDPに対しても応用例（テスト問題）を考案する．それに関連し，設計されたアルゴリズムだけでなく，数値実験が実施しやすい環境を整備するため，ウェブ上にそれらのテスト問題を公開する．さらに，非線形SOCPと非線形SDPに対する既存のアルゴリズムの性能を比較し，その結果をもとにアルゴリズムの高速化及び効率化を目標とする．ただし，これらの計画以外に，重要だと思われる課題が見つかった場合は随時非線形SOCPと非線形SDPに関連する諸テーマ（多目的最適化やロバスト最適化など）に研究の重点を移す．
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