2016 Fiscal Year Research-status Report
非線形2次錐計画問題と非線形半正定値計画問題の方法と応用
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26730012
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
福田 秀美 京都大学, 情報学研究科, 助教 (40726361)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 2次錐計画問題 / 半正定値計画問題 / 2乗スラック変数 / 正確な拡張ラグランジュ法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，錐最適化問題，特に非線形計画問題（NLP），非線形2次錐計画問題（SOCP）および非線形半正定値計画問題（SDP）に対する効率的かつ高速なアルゴリズムの開発である．それらの問題に対して，本研究では主に2乗スラック変数法と正確なペナルティ法という手法に注目する．平成28年度に得た研究成果は以下のとおりである．
(a) NLPに対する2乗スラック変数法をSOCP・SDPの場合と比較し，理論解析を行った．NLPは比較的シンプルな問題であるため，多くの研究者が参考にできる論文を執筆し，その論文は既に論文誌に受理された．
(b) 正確なペナルティ法と同様のアプローチである正確な拡張ラグランジュ法と呼ばれる解法の研究を行った．特に，複雑な制約を持つSOCP・SDP問題を無制約最適化問題に再定式化するための関数（正確な拡張ラグランジュ関数）を提案し，それが正確であることを示した．また，SDPに対して，正確な拡張ラグランジュ関数の一般化を考え，それらの結果をまとめた論文を執筆した．
(c) SDPに対する2乗スラック変数法の理論解析および数値実験を実施し，その結果をまとめた論文は受理された．その後，NLP・SOCP・SDPを拡張した非線形対称錐計画問題（SCP）に対して，同様の解析を行った．具体的には，SCPの最適性の必要条件と再定式化された問題の最適性の必要条件の等価性を議論した．また，SCPに対する拡張ラグランジュ法の収束定理が，2乗スラック変数の結果とNLPに対する拡張ラグランジュ法の収束定理から導かれることを示した．
(d) さらなる研究成果として，SOCPに対する安定化逐次二次計画法と呼ばれる手法の提案，2乗スラック変数法の一般化，双線形行列不等式制約付きのSDP問題に対するDC法の考案，多目的最適化問題に対する非単調直線探索の提案が挙げられる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成28年度の計画には非線形2次錐計画問題に対して，正確な拡張ラグランジュ法に関する正確性・収束の定理の証明を完了し,アルゴリズムの設計を目指すことだった．しかし，正確性の証明は終えたが，収束の証明はまだ未完成である．さらなる計画として，非線形半正定値計画問題に対する拡張ラグランジュ法が挙げられるが，その結果は完成し，論文も執筆し終えた．計画には無かった非線形対称錐計画問題に対する2乗スラック変数法については，多くの応用問題を取り扱うことができるため，研究の重要性が高いと判断した．その結果をまとめた論文は現在投稿中である．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成29年度には，非線形2次錐計画問題に対する拡張ラグランジュ法の超一次収束を示して，正確なペナルティ関数法と比較し，様々な数値実験を行う予定である．また，平成28年度に2人の外国研究協力者が大学を訪問し，そのときに議論した非線形2次錐計画問題に対する逐次二次計画法や多目的ロバスト最適化問題に対する手法の研究も同時に進める予定である．
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