2016 Fiscal Year Research-status Report
傾理論を軸とする岩永-Gorenstein環の表現論的研究
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26800007
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| Research Institution | University of Yamanashi |
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Principal Investigator |
山浦 浩太 山梨大学, 総合研究部, 助教 (60633245)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 岩永-Gorenstein環 / 三角圏 / 傾対象 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は次の2種類の次数付き岩永-Gorenstein環について考察を行った。
1. 入射次元1の次数付き岩永-Gorenstein環について、昨年度構成した次数付きCohen-Macaulay加群の安定圏における準傾対象Uが、傾対象であるかどうかを調べた。テストケースとして、前射影代数の傾イデアルによる剰余環を調査したところ、Uが傾対象ではない例を発見した。その例ではUを一度変異させることで、傾対象が得られることを確認した。この例から、次数付きCohen-Macaulay加群の安定圏において標準的に存在する準傾対象Uを有限回変異させることで傾対象を得ることができるだろうか、という問題が提起された。この問題を調査し、引き続き入射次元1の次数付き岩永-Gorenstein環に対する傾対象の存在について考察する予定である。
2. 代数Aとその両側加群Cから構成される自明拡大代数をBとする。BにはAを0次、Cを1次とする次数付き代数の構造が入る。源氏(大阪府立大学)との共同研究において、AとBのホモロジー代数的性質がどのように関連しているのかということを、代数に付随する圏の観点から研究を行い、以下の成果を得た。
(1) Bが岩永-Gorenstein代数になるようなCを、その圏論的性質により特徴付けた。
(2) AとBが岩永-Gorenstein代数であるとする。このとき、A上射影次元有限な次数付きCohen-Macaulay B加群の安定圏は、A上の射影加群の有界複体のなすホモトピー圏のある許容部分圏と三角圏同値である。この許容部分圏はCの導来テンソルの冪が生成する三角圏である。(2)は次数付きCohen-Macaulay加群の安定圏を導来圏と比較するという本研究の目的に順ずる成果である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
自明拡大によって構成される岩永-Gorenstien代数に対する研究で、一定の成果が得られた。特に我々が示した三角圏同値により、次数付きCohen-Macaylay加群の安定圏に対する新しい観点を得たことは今後の研究に有益であると考えている。傾対象の構成問題は解決しなかったが、例を調査した結果、想定していた構成により傾対象が得られず、研究の方向性を見直す必要があることがわかった。以上のことから、本年度の進歩状況は順調であると判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
幾つかの仮定の下で、本研究を遂行する。具体的には、以下を方針とする研究を実施する予定である。
(1)三角圏において、ある1つの準傾対象から別の準傾対象を構成する「変異」と呼ばれる操作がある。入射次元1の次数付き岩永-Gorenstein代数に対して得られる準傾対象Uに有限回の変異を施すことで傾対象が得られるかどうかを考察する。
(2)Artin的な次数付き岩永-Gorenstein環は、0次部分環の大域次元が有限かつSocleが一定次数に集中しているという条件をみたすとき、次数付きCohen-Macaulay加群の安定圏は傾対象をもつことがわかっている。この類似として、次数付きCohen-Macaulay加群の安定圏がa-invariantをもつときに、次数付きCohen-Macaulay加群の安定圏が傾対象をもつかどうかを考察する。
(3)昨年に引き続き、次数付きCohen-Macaulay加群の安定圏と導来圏との三角圏同値から、次数付きでないCohen-Macaulay加群の安定圏と導来軌道圏の間の三角圏同値を引き起こすどうかを調査する。
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| Causes of Carryover |
成果発表の出張をあまり行なっていないため、その旅費が次年度使用額として残っている。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度使用額は次年度の研究打ち合わせ、研究遂行に必要な勉強会の開催費、成果発表のための旅費に使用する予定である。
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