2015 Fiscal Year Research-status Report
非アルキメデス的幾何の研究と代数多様体の算術への応用
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26800012
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
山木 壱彦 京都大学, 国際高等教育院, 准教授 (80402973)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 幾何的ボゴモロフ予想 / 非アルキメデス的幾何 / トロピカル幾何 / 骨格 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該研究課題における重要な具体的問題の中に、幾何的ボゴモロフ予想というのがある．これは、函数体上定義されたアーベル多様体を考えたとき、その閉部分多様体であって高さの小さい点を稠密に持つようなものの特徴づけに関する予想で、このような閉部分多様体は特殊部分多様体であろうということが予想されている。この予想は未解決であるが、昨年度までの研究で重要な進展があり、興味深い部分的解決が得られている。
幾何的ボゴモロフ予想と呼ばれるものの中に、「曲線に対する幾何的ボゴモロフ予想」という、やや特別な場合のみを扱ったものがある。これは、定数体上定義不可能な種数２以上の非特異射影曲線をそのヤコビ多様体の中に埋めん込んだとき、その曲線上には高さの小さい点は有限個しかないであろう、という予想である。今年度は、先に得られた幾何的ボゴモロフ予想の部分的結果を応用することにより「曲線に対する幾何的ボゴモロフ予想」が正しいことが証明し、それをプレプリントで公開した。また、その結果のいくつかの帰結もプレプリントにまとめてある。これらは当該年度における重要な研究実績である。
当該研究課題におけるもう一つの主要な問題である非アルキメデス的幾何の研究においては、非アルキメデス的解析空間の重要な閉部分空間である「骨格」と、そのトロピカル化についての考察を今年度は行っている。主要な部分について結果は得られており当該年度において結果の一部は口頭発表している。ただ、現時点でプレプリントを公開するに至っていない。来年度は公開する予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題において、幾何的ボゴモロフ予想の解決が目標となっている。今年度は、曲線に対する幾何的ボゴモロフ予想が解決できたとするプレプリントを公開することができた。したがって、本研究課題の計画は非常に順調に進展していると判断できる。
また、非アルキメデス的幾何に関する研究においても、その非アルキメデス的解析空間の骨格とそのトロピカル化の研究に着手し、その結果を講演等で発表するなど、順調に成果が得られている。
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| Strategy for Future Research Activity |
幾何的ボゴモロフ予想については、曲線に対するそれは解決するに至った。ただ、この解決までの議論は相当に入り組んでいる。また、より一般の「アーベル多様体に対する幾何的ボゴモロフ予想」は、これまで進展が得られているとは言え最終解決には明確な指針が見えにくい状況である。そこで、今後の研究の推進方策としては、多岐にわたるこれまでの成果を改めて整理し、未解決の部分の本質的課題を炙り出すという作業を、意識的に進めていく必要があると考えている。そのためにも、国内外の研究者との討論が必要不可欠であり、それを通じて問題を煮詰め、本研究課題を推進していく予定である。
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| Causes of Carryover |
当初計画から計画していた出張について、先方から旅費の援助が得られたため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
当初計画に加え新たな研究発表及び研究打ち合わせが入る予定であり、その経費として使用することを計画している。
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