2016 Fiscal Year Research-status Report
非アルキメデス的幾何の研究と代数多様体の算術への応用
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26800012
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
山木 壱彦 京都大学, 国際高等教育院, 准教授 (80402973)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 非アルキメデス的幾何 / トロピカル化 / 骨格 / 極限トロピカル化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度においては、当該研究課題における主要な問題の一つである非アルキメデス的幾何の研究を中心に研究を進めた。非アルキメデス的解析空間（ベルコビッチ解析空間）の構造を理解する上では、その部分空間である「骨格」と呼ばれるものを理解することが重要である。その構造を明示的に記述するには、そのトロピカル化を通して理解するという方法は基本的である。トロピカル化によってでてくるトロピカル多様体は、ユークリッド空間に埋め込まれた多面体的構造をもった対象で、非常に明示的な方法で扱うことがしばしば可能であるからである。特に、忠実なトロピカル化、すなわち主要な幾何的構造を保ったトロピカル化（「忠実な」トロピカル化）をとることができると、トロピカル化を通した骨格の研究には、非常に役に立つ。
当該年度では，その前年度にから引き続いて，多様体の直線束の大域切断を使ってその骨格を「忠実に」トロピカル化できるための十分条件を考察した。その結果、一般次元において、どのような条件下でそれが可能であるかという問に対して、代数幾何における藤田予想との関連を論じた論文をアーカイブに公開した。一方、この結果はいわゆる多様体の「モデル」に依存する結果であったが、曲線の場合（一次元の場合）には、より強力なトロピカル化可能であるための十分条件を与えることに成功し、その成果をアーカイブで公開した。
さらに当該年度の後半では、この曲線の場合の結果を応用して、Payneの極限トロピカル化に関する応用を考察した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題において、ベルコビッチ解析空間の研究は主要な目的の一つである。そのベルコビッチ解析空間において骨格は重要であるが、当該年度は、骨格の研究で重要な役割を果たすであろう忠実トロピカル化について、重要な知見が得られ論文を公開することができた。また、この研究は、極限トロピカル化の「次数」を抑える問題への応用も見出された。これらの成果は講演等でも発表することができた。したがって、順調に進展していると判断できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
当該年度の研究の進展によって、トロピカル化で重要となる具体的な問題が幾つか炙り出されてきた。現在（当該年度の翌年）にその研究に着手している。
トロピカル化の研究においては、非アルキメデス幾何的視点のみならず、実験数学的手法（計算機などを用いて、組み合わせ論的対象であるトロピカル多様体を調べるなど）も重要な視点を与える。しかし、この知見については必ずしも当該研究課題の研究代表者は最新の技術を持ち合わせていない。その部分を補うために、国内外の研究者との研究討論は必要不可欠である。こうした討論は、研究推進のために、今後も重要な役割を果たす。
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| Causes of Carryover |
当初計画に予定していた出張について、先方から援助が得られたため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
研究の進展によって当初に計画していたもの以外の研究発表および研究打ち合わせが入る予定となっており、その経費として使用することを計画している。
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