2014 Fiscal Year Research-status Report
代数的及び組合せ論的手法を駆使した正規整凸多面体のδ列の探究
| Project/Area Number |
26800015
|
|---|
| Research Institution | Kyoto University |
|---|
Principal Investigator |
東谷 章弘 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 研究員 (60723385)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
|
| Keywords | 整凸多面体 / 正規性 / δ列 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題の目的は、正規整凸多面体のδ列を代数的観点及び組合せ論的観点から考察し研究を行うことにある。具体的には①正規整凸多面体のδ列のunimodal性、および、②正規整単体のδ列の特徴付けの研究である。
これらの研究を進めるに当たり、平成２６年度は具体的かつ理にかなった整凸多面体のクラスについての研究を行った。研究①について、まずは“膨らませた”整凸多面体のδ列についての研究を行った。任意の整凸多面体は十分膨らませれば正規になることがよく知られている。整凸多面体の次元をdとし、整凸多面体の次数と呼ばれる不変量をsとおくとき、任意のn≧max{d+1-s,s}に対して、n倍に膨らませた整凸多面体のδ列は常にunimodalになることを証明した。研究②について、Benajmin Nill氏・土谷昭善氏との共同研究により、δ多項式が三項式になるような整単体を完全に分類することにも成功した。この分類定理により、正規とは限らない場合ではあるが、特別な場合における整単体のδ列の特徴付けに成功した。
さらに、整凸多面体のミンコフスキー和の正規性や“level”と呼ばれる性質に関しても一定の結果を得ている。これらは整凸多面体に付随する半群環であ“Ehrahrt環”の環論的性質とも関連し、今後の研究の手助けにもなり得る研究結果である。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当初の研究計画では、平成２６年度は具体例の構成と計算に時間を費やし、本研究課題を推進するための基礎を気付くことを目的としていた。しかし、本研究課題の主な目的の１つである「正規整凸多面体のδ列のunimodal性」に関して、部分的ではあるが、一定の結果を得ることに成功した（論文“Unimodality on δ-vectors of lattice polytopes and two related properties”）。これは当初予定していた計画以上の進展である。
|
| Strategy for Future Research Activity |
１年目は計画以上の研究成果を得ることが出来た。今後もこのペースで研究を続けていきたい。１年目の研究により、正規整凸多面体の具体的な類に対してδ列のunimodal性を証明することが出来たので、そこでの議論を一般化し、一般の正規整凸多面体のδ列のunimodal性を証明することを目指す。また、もう１つの研究課題である正規整単体のδ列の特徴付けに関しても、様々な具体例に対して成果を挙げた後、一般の場合に挑戦していきたい。
|
