2015 Fiscal Year Research-status Report
代数的及び組合せ論的手法を駆使した正規整凸多面体のδ列の探究
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26800015
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| Research Institution | Kyoto Sangyo University |
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Principal Investigator |
東谷 章弘 京都産業大学, 理学部, 助教 (60723385)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 整凸多面体 / 正規性 / δ列 / Gorenstein |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題の目的は、正規整凸多面体のδ列の代数的及び組合せ論的側面からの考察である。具体的には２つの研究課題を設定しており、１つ目は、正規反射的凸多面体のδ列のunimodal性の証明、２つ目は、正規整凸多面体のδ列の特徴付けである。
平成２７年度は、平成２６年度で展開した研究結果と照らし合わせながら、一般の場合への解決に向けて様々な側面から研究を行った。具体的には、１つ目の研究課題に関して、新たな可換環のクラスである"almost Gorenstein 環"と呼ばれる次数付き環を定義し、研究を行った。可換環論的側面から、反射的凸多面体に付随する可換環はGorensteinになることが知られており、Gorenstein性を一般化した概念であるalmost Gorenstein性とそのδ列の関係を考察することは本研究課題において有益なものであると言える。また、２つ目の研究課題に関して、平成２６年度に、δ多項式が特別な形になる整単体の分類を行ったが、その研究の続きとして平成２７年度は、整凸多面体の次数に注目し、次数２の整単体の分類をJohannes Hofscheier氏との共同研究により成功させた。その副産物として、次数２の整単体のδ列の特徴付けを得ることが出来た。さらに、次元を固定した時に次数が最小になる整単体の分類にも成功しており、そのような整単体のδ列が特別な形をしていることを観察することもできた。これらは今後の研究を展開する上でも重要な観察であると思われる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の計画では、平成２７年度は専門知識の習得および情報収集に力を注ぐ予定であった。実際、本研究の代数的側面・組合せ論的側面の両面から研究を行うために、様々な研究打ち合わせを行った。具体的には、明治大学の後藤四郎教授を訪ね、可換環論的側面に関する情報収集を入念に行った。その結果、論文“Almost Gorenstein homogeneous rings and their h-vectors”を執筆することが出来た。さらに、整凸多面体の組合せ論的側面に精通しているドイツ人研究者Johannes Hofscheier氏との入念に打ち合わせを行った。その結果、特別な場合のδ列の特徴付けに成功している。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成２６年度、平成２７年度と順調に研究成果を得ることが出来ている。平成２８年度はそれらを踏まえ、目標としている研究課題の完全解決を目指す。具体的には、反射的凸多面体のδ列に関して、組合せ論的及び可換環論的両方の観点から研究を進め、unimodal性の完全解決を目指す。また、正規整単体のδ列の特徴付けに関して、次数２の整単体や(次元に対して）次数が最小の整単体のδ列の特徴付けの研究で私用した手法などを駆使して、一般の正規整単体のδ列の特徴付けを目指す。
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