2015 Fiscal Year Research-status Report
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26800017
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
山名 俊介 京都大学, 白眉センター, 助教 (50633301)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | ヒルベルト保型形式 / ジーゲル保型形式 / エルミート保型形式 / 池田リフティング / ジーゲル級数 / 退化主系列表現 / 志村対応 / ジャッケ積分 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
保型形式の具体的構成は難問として知られている. アイゼンシュタイン級数の理論により一般の保型形式は尖点的保型形式から構成できるが, 肝心な尖点的保型形式の構成法が殆ど知られていないからである. 多変数保型形式の理論には長い歴史があり, 数論や代数幾何学に重要な役割果たしているにも関わらず多くの数学者に馴染みが薄いのは, 一変数の場合に比べて魅力的な保型形式の実例が不在であることに一因があると考えられる. 近年の跡公式の理論の発展により保型形式の空間の深い情報が解明されつつある一方, 具体的に取り扱える保型形式を構成することは一般論に内容を与える上で相補的であり, 極めて重要である.
高次のジーゲル保型形式やエルミート保型形式の実例は今世紀初頭池田保氏により始めて構成され, 楕円保型形式から高次の保型形式を作り出す池田リフティングと呼ばれている. その構成法は一般化の余地に乏しいものだったので, 同氏は表現論を活用した構成法も考案した。その方法は難解過ぎて明示的でもなかったので長い間無視されていたが, 本年度に筆者が証明を簡略し, フーリエ級数を与える方法を見出し, 楕円保型形式の一般化であるヒルベルト保型形式のリフティングを与えた. 池田氏と筆者が構成したヒルベルト-ジーゲル保型形式は, 降下法により構成できる生成的保型形式と対極的な最も退化した正則尖点的保型形式であり, 従来の研究より遥かに明示的でしかも一変数と多変数の保形式のフーリエ係数の関係を解明する. 退化主系列表現との関係から数論や幾何的にも興味深いものである. この構成方法はさらに一般化できると期待され, 実際エルミート保型形式の場合には完全に一般的ヒルベルト保型形式からリフティングを作ることができた.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
筆者が平成27年度に遂行した研究は主として以下の四つであり, 当初の予定以上の研究の進展があった.
1. 池田リフティングのヒルベルト- ジーゲル保型形式への一般化
2. 池田リフティングのヒルベルト-エルミート保型形式への一般化
3. 池田リフティングのシンプレクティック群の内部形式の正則保型形式への移送の構成
5. 四元数体上の歪エルミート形式のジーゲル級数の関数等式の証明
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| Strategy for Future Research Activity |
筆者が池田保氏と構成したヒルベルト保型形式からヒルベルト-ジーゲル保型形式へのリフティングには, 現在の所, 制限があり, ヒルベルト保型形式が超尖点的表現を局所表現に持つ場合には適用できない. 本研究のリフティングは志村対応の一般化であるが, 志村対応の一番深い性質は超尖点表現の場合にあるためこの制限を取り除くことは重要である. 超尖点的表現の場合にはリフティングのフーリエ係数を退化主系列のジャッケ積分だけで与えることができないため, 退化主系列表現やジャッケ積分の一般化を考案する必要が有る. ジャッケ積分とは二次形式論, テータ対応, 算術幾何学など幅広い分野に応用されているジーゲル級数の一般化であり, その一般化は興味を惹きつける問題である. エルミート形式の場合は様々な好条件が整い成功したので, そこで得た知見をもとに今回の手法を発展させていきたい.
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