Brumer-Stark予想を中心とした岩澤理論の精密化の研究

2014 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 26800024
• Research Institution: Tsuruoka National College of Technology
• Principal Investigator: 三浦 崇 鶴岡工業高等専門学校, その他部局等, 助教 (60631934)
• Project Period (FY): 2014-04-01 – 2017-03-31
• Keywords: 岩澤理論 / 岩澤主予想 / Brumer-Stark予想 / Fittingイデアル / イデアル類群 / 整数論

Outline of Annual Research Achievements

本年度は代数体上のアーベル拡大におけるBrumer-Stark予想の精密化に関する研究を行った．Brumer-Stark予想はStickelberger元が任意のイデアルを単項化し，その生成元のベキ根がアーベル拡大を生成するであろうという予想である．この予想は，ある素点の集合Tについて，T-modified Stickelberger元がT-分岐イデアル類群の零化域イデアルに属することと同値である．本研究では零化域イデアルより小さい，T-分岐イデアル類群の(0次)Fittingイデアルを完全に決定することを目標としており，これをBrumer-Stark予想の精密化と位置付けている．本年度はまず基礎体が有理数体の場合を考察した．いくつかの実例計算からT-分岐イデアル類群のFittingイデアルの形について予想を立てることができた．そしてある条件下ではこの予想が正しいことを証明した．この結果を基礎体が総実代数体の場合に拡張することも試みた．有理数体の場合と類似の条件(特にGalois群の構造に関する本質的な条件)を課せば本結果を総実代数体の場合に拡張することができることを示した．一方で，Galois群の構造に関する仮定を外して，総実代数上のpベキ次巡回拡大の場合についても考察した．この場合もpの上の素点の分岐や1のpベキ根に関するいくつかの仮定のもとでT-分岐岩澤加群のイデアル類群のFittingイデアルを決定することができた．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

本年度の目標は，有理数体上のアーベル拡大のT-分岐イデアル類群のFittingイデアルを決定することであった．本年度の研究では部分的な結果に留まっているが，いくつかの実例計算が得られたこと，これまでイデアル類群に比べてあまり調べられていなかったT-分岐イデアル類群のFittingイデアルについて色々なことが分かったことは大変意義深いことだと考えている．基礎体が有理数体の場合の結果を総実代数体に拡張することに関しては当初の予定より進んでいると考える．

Strategy for Future Research Activity

今後は，基礎体が有理数体の場合にT-分岐イデアル類群のFittingイデアルを完全に決定することを目指す．そのために1のp乗根がアーベル体に属することで生じる問題(岩澤主予想から有限次代数体に降下する際に生じる問題)に取り組む．さらに，この結果を出来る限り弱い条件下で一般の総実代数体に拡張することを目指す．また，これまで培ってきた手法を用いて楕円曲線のSelmer群を調べることでMazur-Tate予想に取り組んでいく．