2016 Fiscal Year Annual Research Report
The mapping class groups of Heegaard splittings
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26800028
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
古宇田 悠哉 広島大学, 理学研究科, 准教授 (20525167)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 3 次元多様体 / Heegaard 分解 / 写像類群 / 結び目 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
向き付可能な任意の閉 3 次元多様体は，ある種数 g の閉曲面で切り開くことにより 2 つのハンドル体に分解される．この分解を種数 g の Heegaard 分解と呼ぶ．種数が 2 未満の Heegaard 分解に対しては，それを許容する 3 次元多様体，およびその分解の構造が完全に解明されている．
本研究の目的は，特に Hempel 距離が 0 である種数 2 の Heegaard 分解に対し，その写像類群（Goeritz 群）の有限表示を与えることである．これらのうち，3 次元球面についてはすでに有限表示が知られており，また，昨年度までに 2 次元球面と円周の直積，可約な 3 次元多様体について，論文発表を終えていた．
本年度は，まず，連結な初等円盤複体を許容するレンズ空間に対する Goeritz の有限表示を記述した論文を発表した．また，残されたレンズ空間，すなわち初等円盤複体が連結ではないレンズ空間に対する Goeritz 群の有限表示について，昨年度得られた結果を再度検証した上で原稿作成を完了し，arXiv への掲載と学術雑誌への投稿を行った．また，これらの結果について，アメリカで開催された AMS Sectional Meeting での招待講演で公表した．これで， Hempel 距離が 0 である種数 2 の Heegaard 分解の Goeritz 群に関するプロジェクトは完結したことになる．
さらに，上記研究の応用として，2 橋結び目の (1,1) 分解に関するある種の一意性（小林・佐伯の定理）を，レンズ空間の初等円盤複体の理論を用いて証明した．いずれの研究も，S. Cho 氏との共同研究に基づくものである．
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