2015 Fiscal Year Research-status Report
| Project/Area Number |
26800029
|
|---|
| Research Institution | Tohoku University |
|---|
Principal Investigator |
田中 亮吉 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 助教 (80629759)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
|
| Keywords | 調和測度 / ランダムウォーク / Gromov双曲群 / ランダムDirichlet級数 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は, まずランダムディリクレ級数の研究を行った.これはランダムな無限級数の分布がいつLebesgue測度について絶対連続か, あるいは特異(連続)か, という調和解析における基本的な問題に関わる研究である.絶対連続の場合, 分布関数がどれくらい正則か, 特異(連続)の場合, 分布のHausdorff次元はいくつか, ということが問題になる.この研究の動機は, あるLie群上のランダムウォークに付随する調和測度の解析にある.ここでは, 2パラメータを持つランダムなディリクレ級数を問題にした(この問題は極値統計学と関わるものである).あるパラメータ領域で分布は絶対連続であり, さらにその中で, パラメータによって密度関数が有界かつ連続, あるいは密度関数が非有界になることを示した.この特別な場合の分布の絶対連続性は, Jim Pitmanによる問題への解答を与えている.証明には解析数論(一様分布論)におけるWeyl-van der Corputの補題を用いる.この成果は論文にまとめられ, 出版された.
また双曲群上の調和関数についての研究も行った.これはグロモフ境界上の調和測度のHausdorff(Patterson-Sullivan)測度との絶対連続性の必要十分条件をエントロピー・ドリフト・体積増大度の不等式の等号成立条件として与えたものである.これにはエントロピー不等式に対する応用がある.
また流体力学的極限の一般化についても研究を行い, あるクラスの群に付随する被覆グラフの塔において, 局所エルゴード定理を導いた.
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
継続して行ってきた双曲群上のランダムウォークの研究において進展が見られたことと、流体力学的極限の研究、また、これらとは新しい問題意識のもので始められたランダムディリクレ級数の研究にも成果が得られたことにより、研究計画はおおむね順調に進展していると思われる.
|
| Strategy for Future Research Activity |
グロモフ双曲群上のランダムウォークの研究を推し進める.
これについては近年フランスの研究者たちにより著しい進展があり、現在彼らと連絡を取り合いながら研究を進めている.
特に調和測度の次元公式の理解を当面の目標として研究を進める.
調和測度の正則性や幾何学的測度論的理解は、その次の目標と思われる.
|
Research Products
(9 results)
