2017 Fiscal Year Annual Research Report
Research on low-dimensional manifold with handle diagram
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26800031
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
丹下 基生 筑波大学, 数理物質系, 助教 (70452422)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | コルクツイスト / エキゾチック微分構造 / ホモロジー３球面 / 有理４球体 / L-空間 / レンズ空間手術 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. ４次元多様体の改変操作についての研究
結び目手術の交差交換に関するプラグを用いて無限個の境界付き多様体を構成した。これはエキゾチックな2ハンドルの接着が無限個存在することを意味する。また、そのプラグの変形で、任意の2-bridge knot手術が得られるようなツイストを構成し、その位相構造延長性について明確に分類をした。コルクとは、位相的に延長するが、微分位相的に延長できない可縮４次元多様体の境界の自己微分同相写像のことである。Akbulutコルクの境界の分岐被覆を用いることで有限位数のSteinコルクを初めて構成した。コルクの部分空間を用いることで、直接Steinの条件を通さなくても多くの延長不能性について議論できるようになった。Gompfは無限位数コルクを構成した。本研究では、微分構造全体の中で、無限位数コルクによって得られるための必要条件を初めて得た。この結果は位数が２の場合において微分構造全体の中でそのような条件が存在しなかったことと比べて対照的である。Gompfの例がその必要条件を満たしていることも直ちに確認できた。
2. ホモロジー3球面の4次元boundに関しての研究。
あるスライスではない結び目で、その分岐被覆が有理4-球体をboundする例(被覆空間は有理3球面)を構成した。このような例は、2-bridge knotでは構成できないが、その他の例ではあまり知られていなかった。また、松本多様体に対してd-不変量の計算を行った。
3. レンズ空間手術の研究
Lー空間ホモロジー球面から得られるレンズ空間手術の分類を、連分数的観点から系統的に再分類をする研究を行なった。残された系列について今後、同じように分類が完成すると考えられる。この研究と関連して研究していたnon-zero曲線との議論との今後融合をはかり、完全分類を目指す。
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