2014 Fiscal Year Research-status Report
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26800032
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
北山 貴裕 東京工業大学, 理工学研究科, 助教 (10700057)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 3次元多様体 / 位相不変量 / 表現 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
基本群の線形表現のモジュライ空間と3次元多様体の非可換トーション不変量の研究の相互発展を図ることを目的として研究を行った．当該年度は，主に，線形表現の変形から構成される3次元多様体内の曲面とその変形に伴う非可換トーション不変量の値の変化についての研究を行った．その結果，これらの間に予想されていた関係を裏付け，非可換トーション不変量をモジュライ空間上の関数と見做すことで現れる新しい応用を提示することができた．具体的には，以下の成果が得られた．
CullerとShalenによって，基本群の複素2次元表現のモジュライ空間である指標多様体の無限遠点から3次元多様体を本質的に分解するような曲面を構成する理論が確立されている．また，基本群の線形表現に付随して定まる3次元多様体のねじれAlexander多項式は，非可換トーション不変量の一種であることが知られており，多項式の各係数は指標多様体上の正則関数を誘導することが分かる．研究代表者は，指標多様体の無限遠点から複雑性が最小であるような非分離的な曲面が構成されるならば，ねじれAlexander多項式の最高次係数が誘導する関数はその無限遠点において収束することを示した．帰結として，結び目補空間の指標多様体とねじれAlexander多項式に関するDunfield，Friedl，Jacksonによる予想を肯定的に部分解決し，当予想を一般の3次元多様体の場合にまで拡張することに成功した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当該年度に計画していた，3次元多様体の非可換トーション不変量を基本群の線形表現のモジュライ空間上の関数と見做す視点からの研究においては，新しい展開として，不変量の関数としての性質とモジュライ空間の無限遠点から多様体内の曲面を構成するCuller-Shalen理論との関係を明らかにすることができた．
また，もう一つのテーマである，基本群の3次元以上の線形表現の変形から構成される，3次元多様体を本質的に分解するような分岐曲面の研究においては，翌年度に計画している，変形に対応する曲面が分岐を持たないための十分条件について，既に大きな進展が得られている．
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| Strategy for Future Research Activity |
翌年度に計画している，3次元多様体を本質的に分解するような分岐曲面の研究においては，レーゲンスブルク大学のStefan Friedl教授と密接な研究打ち合わせを行う予定である．当該年度の研究の発展として，数論的位相幾何学の視点を導入することで，複素線形表現だけでなく有限体上の線形表現の「普遍変形」に伴う非可換トーション不変量の研究にも取り組む予定である．また，得られた成果を講演等により積極的に発信することを心がけ，研究の更なる深化を図る．
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