2015 Fiscal Year Research-status Report
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26800032
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
北山 貴裕 東京工業大学, 理工学研究科, 助教 (10700057)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 3次元多様体 / 位相不変量 / 表現 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
基本群の線形表現のモジュライ空間と3次元多様体の非可換トーション不変量の研究の相互発展を図ることを目的として研究を行った．当該年度は，高次元線形表現が導く多様体の分解の追及をテーマとして，主に，高次元線形表現の変形から3次元多様体内の曲面を構成する理論の整備を進め，当理論によって構成される曲面の集合を決定することに取り組んだ．その結果，そのような集合を完全に特徴付けることに成功し，研究分野を大きく発展させることができた．具体的には以下の成果が得られた．
CullerとShalenによって，基本群の複素2次元表現のモジュライ空間である2次元指標多様体の無限遠点から3次元多様体を本質的に分解するような曲面を構成する理論が確立されている.更に，Culler-Shalen理論の高次元線形表現に対する場合への拡張として，研究代表者と原隆氏の共同研究によって，高次元指標多様体の無限遠点からも3次元多様体を本質的に分解するような（分岐を許す）曲面を構成する方法が見出されている．また，古典的な理論においては，分岐を持たない本質的曲面であって，2次元指標多様体の無限遠点からは構成されないものがあることが知られている．研究代表者は，Stefan Friedl氏とMatthias Nagel氏との共同研究において，分岐を持たない全ての本質的曲面はある次元の指標多様体の無限遠点から構成されることを明らかにした．帰結として，研究代表者と原隆氏によるCuller-Shalen理論に関する予想を肯定的に解決した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当該年度に計画していた，対応する曲面が分岐を持たないための指標多様体の無限遠点に関する十分条件の研究においては，そのような無限遠点を実際に構成する方法を見出すことができ，分岐を持たない本質的曲面が理論によって全て構成されることまで明らかにできた．より精密な十分条件を研究する余地は多分に残されているが，当初の計画とは異なる方向に研究が円滑に進展し，研究分野を大きく発展させる成果を得ることができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度に大きく進展した，高次元線形表現が導く多様体の分解を追及する研究においては，引き続き，レーゲンスブルク大学のStefan Friedl教授と密接な研究打ち合わせを行う予定である．また，本研究のテーマに基づいたセミナーを企画し，研究領域の育成・発展を図る．これまでに得られた成果を講演等により積極的に発信することを心がけ，研究を更に深める．
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