2014 Fiscal Year Research-status Report
写像類群の部分群のコホモロジー群とホモロジー3球面の有限型不変量の研究
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26800034
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| Research Institution | Gifu University |
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Principal Investigator |
佐藤 正寿 岐阜大学, 教育学部, 助教 (10632010)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 写像類群 / 有限型不変量 / ハンドル体写像類群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度はハンドル体写像類群のホモロジー群について研究を行った。内容は以下の2点である。
(1)ハンドル体写像類群のねじれ係数1次ホモロジー群の決定、(2)種数2のハンドル体写像類群のコホモロジー環の決定
(1)石田智彦氏との共同研究として、境界曲面の整係数1次ホモロジー群を係数にもつ、ハンドル体写像類群のねじれ1次ホモロジー群を計算し、プレプリントを発表した。
結果としては、写像類群の場合は森田茂之氏により、自由群の自己同型群の場合は河澄響矢氏により記述された、第一Johnson写像からくる部分と、佐藤隆夫氏により計算された、階数2,3の自由群の外部自己同型群のねじれ係数1次ホモロジー群のZ/2Z部分の2種類のみであることがわかった。円板複体は高次連結性をもち、この作用を通してハンドル体写像類群の同変ホモロジーから整係数のコホモロジーが計算できる。(1)の計算はこの同変ホモロジーの計算のための準備である。
(2)種数2のハンドル体写像類群はホモロジーへの作用を通して、整係数2次一般線型群への全射をもつ。種数2のハンドル体写像類群はKramer, McCulloughにより示されたように、融合積分解をもつ。この融合積分解は整係数2次一般線型群の融合積分解とcompatibleなものであることがわかった。またこれにより、種数2のハンドル体Torelli群の無限生成系を得た。次に、上の融合積分解を通してMeyer-Vietoris完全系列からコホモロジー環の構造を計算した。これについてはまだ途中であり、今後プレプリントを発表する予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ホモロジー3球面の有限型不変量との関係については着手できなかったが、ハンドル体写像類群のねじれ係数1次ホモロジー群の計算、および、種数2のハンドル体写像類群のコホモロジー環が計算できたことから、順調に進展していると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
種数3のハンドル体写像類群の2次ホモロジー群を円板複体への作用を通して計算するためには、種数2のハンドル体の境界曲面上の2つの円板の各点を止める写像類群を計算する必要がある。この計算を進めていきたい。
一方、整ホモロジー3球面の有限型不変量について、同変Casson不変量を、曲面の被覆構造を保つ写像類群の部分群上の関数として表すということを考えている。また、Z/2Zホモロジー3球面のRochlin不変量をレベル2写像類群上の関数として、より一般には、有理ホモロジー3球面の高次の有限型不変量を、レベルつき写像類群の適切な部分群上の準同型として表すことを目標としたい。
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた理由としては、研究集会への出張が多くなり、その出張費と予定額に差が生じたことが主な原因である。また、他研究者との打ち合わせにより研究が進むことが主であったため、購入図書が少なかったことも挙げられる。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
出張旅費、または、図書購入として使用することを計画している。
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