2015 Fiscal Year Research-status Report
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26800035
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
横田 巧 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (70583855)
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2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | リッチ流 / CAT(1)-空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
以前の完備CAT(1)-空間内の半径の小さい距離球上に集中した確率測度の重心に関する研究を拡張し、同じ状況で、1以上の実数pに対してp重心の存在と、2以上の実数pに対してp重心の一意性を証明した。CAT(1)-空間とはAlexandrovの意味で1以下の曲率を持つ距離空間のことである。完備CAT(0)-空間上では距離関数の凸性により確率測度のp重心の存在と一意性は簡単に示されるが、CAT(1)-空間上では距離関数が大域的に凸関数でないため確率測度のp重心の存在と一意性は非自明であった。CAT(1)-空間の特別な場合として有限次元とは限らないヒルベルト空間の単位球面があるが、この特別な場合でも、このp重心の存在と一意性は新しい結果であると思われる。
このp重心の存在と一意性は、重心の場合よりも更に非自明であったが、議論を存在と一意性を分けて考えることで証明出来た。実際、pが1に十分近いときにはp重心の一意性に対する反例が知られている。
また、p重心が持つべき性質の一つとして、任意のp重心がその確率測度が集中している集合の閉凸包に常に含まれることも証明した。これらを合わせると、完備リーマン多様体上の確率測度のp重心に関するB. Afsariの定理が一般のCAT(1)-空間に拡張される。さらに、バナッハ空間のBanach-Saks性の類似の性質をp重心を用いてCAT(1)-空間に対して定式化し、それが任意の完備CAT(1)-空間に対して成り立つことを証明した。
これらの結果は論文としてまとめ、雑誌への投稿に向けて準備中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当初計画していなかったCAT(1)-空間上の確率測度のp重心の研究が進んだ代わりに、当初計画していたリッチ流の研究がほとんど進まなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は当初の計画通りリッチ流の研究に力を入れていきたい。
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| Causes of Carryover |
平成27年度は当初予定していたよりも研究発表や研究打ち合わせのための旅費支出が少なかった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成28年度は国際研究集会を含むプロジェクトに携わるため、その講演者や参加者の旅費援助等にも使用する。
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