2017 Fiscal Year Annual Research Report
Discrete representations in the character variety of a surface group
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26800038
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| Research Institution | Kitami Institute of Technology |
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Principal Investigator |
蒲谷 祐一 北見工業大学, 工学部, 准教授 (70551703)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | クライン群 / 指標多様体 / 擬フックス群 / 双曲幾何学 / 複素射影構造 / 曲面群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2017年度は曲面群の PSL(2,C) 表現空間（指標多様体）の中の離散忠実表現のうち，一番簡単な1点穴あきトーラスの場合について詳しく研究した。1点穴あきトーラスの単純閉曲線の長さを固定することで，表現の空間の複素1次元のスライス（線形スライス）を考えることができる。この線形スライスに現れる離散忠実表現が連結集合になる条件に関する小森・山下の予想に取り組んだ。これまでに得られている結果から，この予想は線形スライスを取る際に必要になる単純閉曲線の双曲的長さと，そこでの bending angle をどこまで大きくできるかという問題に深く関わる。単純閉曲線の長さと bending angle の大きさにの関係に関する論文はいくつかあり，最近でもプレプリントが現れている。そのような研究の動向を追いつつ，予想に取り組んだが，解決には至らなかった。そのほかの活動については以下の通りである。6月に北海道大学の幾何学コロキウムにおいて本研究に関する講演を行なった。9月には日本大学文理学部で行われた Mini-Workshop on Random links and 3-manifolds で random 3-manifolds に関する論文の概説を行なった。また Warwick で行われた研究集会 Geometric topology in low dimensions に参加した。11月には名古屋大学で行われた Rigidity School で講演を行なった。1月に東京大学で行われた研究集会「モジュライ空間のシンプレクティック幾何」に参加。2月に名古屋大学で行われた，リーマン面・不連続群論研究集会に参加した。
研究期間全体を通しての成果では，線形スライスに現れる離散忠実表現の連結成分を，擬フックス群にホロノミーをもつ複素射影構造の分類の言葉で特徴付けた事である。これは PSL(2,C) 表現の空間を複素射影構造に持ち上げる事で初めてできるもので，意義深いアイデアであると考えている。
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