2015 Fiscal Year Research-status Report
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26800044
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| Research Institution | Tsuda College |
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Principal Investigator |
久野 雄介 津田塾大学, 学芸学部, 准教授 (80632760)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 位相幾何学 / 写像類群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
曲面上の曲線の自己交差を測る演算であるトュラエフ余括弧積について、簡明なテンソル表示を得ることが本研究の大きな目標の一つである。平成27年度は、昨年度までの研究により示唆されていた、トュラエフ余括弧積と柏原-ヴェルニュ問題との関連について考察を行った。特に、シェドラーの余括弧積が発散コサイクルから導出されることを証明した。これは昨年度、計算機で部分的に確かめていたものを、全ての次数で証明したものである。次に、曲面上の曲線の交差に関係するテンソル計算のために、今まで用いていた計算機のプログラムの改良を行った。昨年度得ていた、シンプレクティック展開のある精密化の考察に使うことが目的である。平成27年度中にはプログラムの改良が終わらなかったが、次年度はこれを終えて実際の計算機実験に用いたいと考えている。なお、以上の研究は河澄響矢氏（東京大学）との研究協力により実施した。
その他の研究について。
(1)3価ファットグラフ・スパインの、曲面のホモロジー群に値を持つ不変量について、昨年度得られた結果に基づいて論文を執筆した。現在投稿中である。一方、この不変量をタイヒミュラー空間上の、曲面の実係数ホモロジー群に値を持つ関数として拡張しようといくつかの方法を試みたが、成功しなかった。
(2)福原真二氏、河澄氏との研究協力により、ベルヌーイ数を二項係数を用いて表す公式を得た。論文を執筆し、現在投稿中である。これはクロネッカーが1883年に与えた公式の一般化になっている。我々の証明の興味深い点は背景にトポロジーがあることで、曲面上の曲線の自己交差に着目する。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
シェドラーの余括弧積が発散コサイクルから導出されることが分かったので、曲面の種数が0の場合にはトュラエフ余括弧積と柏原-ヴェルニュ問題の関係がいよいよ深まってきた。その意味で、研究は一歩づつ進んでいるとは言える。また、曲線の交差を考察した副産物としてベルヌーイ数に対する公式が得られたことは意外な成果であった。トュラエフ余括弧積の難しさは依然として変わらず、正種数の場合も含めた最終解決までにはもう少し時間がかかると思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成27年度はグロタンディーク・タイヒミュラー理論の専門家と議論の機会を持つことができ、柏原-ヴェルニュ問題やドリンフェルト結合子について多くを学ぶことができた。この分野の知見をトュラエフ余括弧積の研究に活かすため、今後も彼らとの議論を継続していく予定である。
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| Causes of Carryover |
テンソル計算のために計算機を更新して使用する予定であった。しかし、プログラムの改良が年度内に終わらなかったので、計算のための準備が整わず、更新を見送った。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
物品費については、専門書の購入および計算機の更新を予定している。出張旅費については、研究発表や資料収集のために使用する。特に、2016年7月に中国の天津の研究所で開催される研究集会への招待を受けており、これに参加するための出張旅費として使用する。
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