2014 Fiscal Year Research-status Report
Dirac型作用素の摂動による指数理論の可積分系への応用とその深化
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26800045
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| Research Institution | Japan Women's University |
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Principal Investigator |
藤田 玄 日本女子大学, 理学部, 講師 (50512159)
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2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | Dirac型作用素 / 指数 / 同境 / 幾何学的量子化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、昨年度までに発展させたトーラス束とそのファイバーに沿った作用素による摂動を用いた開多様体上のDirac型作用素の指数理論とその局所化理論の幾何学的応用および深化である。今年度は主としてファイバーに沿ったDirac型作用素による摂動を用いた指数理論の理論的側面に焦点をあてた研究を行いその方向に関して進展があった。
研究成果の一つとして指数の同境不変性がある。我々の指数理論において自然な同境の概念を定義し、その同境に関して指数が不変であることを示した。幾何学的不変量の同境不変性はその不変量の基本的な性質であると思われるが、我々の理論においては以下の応用がある。ファイバーに沿ったDirac型作用素による摂動で開多様体上の指数理論を展開する際、多様体の端の開被覆と各開集合上のある種のファイバー束がまず必要となる。得られる指数は与えられたデータの連続変形で不変であることは既知であったが、開被覆のとり方というある種の離散的なデータにどう依存するかは明らかでなかった。指数の同境不変性の系として、ある自然な仮定をみたすような開被覆の取り換えに関しては指数は変化しないことがわかる。この結果は実際の指数の計算においても大きな応用があると期待される。この結果をまとめた論文は学術雑誌Annals of Global Analysis and Geometryへの掲載が決定している。
他の成果としては、非コンパクトシンプレクティック多様体上の同変指数理論と量子化予想、横断的楕円型作用素の指数理論との関係がある。投稿中の論文に関してレフェリーからいくつかの示唆があり、それにしたがって改訂を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
理論的側面についての理解はかなり深まったが、具体的な応用例についての研究の進展が芳しくなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度整備した理論的性質や他理論との関係をもとに、具体的な対象への応用に焦点をあてていく。
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