2015 Fiscal Year Research-status Report
Dirac型作用素の摂動による指数理論の可積分系への応用とその深化
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26800045
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| Research Institution | Japan Women's University |
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Principal Investigator |
藤田 玄 日本女子大学, 理学部, 講師 (50512159)
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2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | トーリック多様体 / origami多様体 / Dirac作用素 / 同変指数 / 指数の局所化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、トーラス束とそのファイバーに沿ったDirac型作用素の族を用いた指数理論とその局所化理論の深化および応用である。今年度は理論の応用としてトーリック多様体に対するDanilovの定理のトーリックorigami多様体への拡張の幾何的な証明が得られ、その結果をプレプリントにまとめた。
Origami多様体とは、超曲面でのある退化を許容した2次微分形式が付与された多様体であり、それらに対してsymplectic幾何の種々の概念や結果が拡張されている。とくに、Hamiltonianトーラス作用に関する凸性定理やトーリック多様体の分類定理の拡張が知られている。トーリック多様体上のよい複素直線束の切断の空間にはトーラスが自然に作用するが、そのトーラス表現としての構造は対応するDelzant多面体(運動量写像による像)に含まれる格子点から定まる表現に一致する。これはDanilovの定理とよばれるトーリック幾何での基本的な定理である。この定理のトーリックorigami多様体に対する拡張を我々の指数の局所化理論を用いて証明した。なお、この拡張の証明自体は、1.Cannas da Silva-Guillemin-Woodwardによるunfoldingと同境定理、およびトーリック多様体に対するDanilovの定理、2. Masuda-Parkによるトーリックorigami多様体のmulti-fanによる記述およびHattori-Masudaによる固定点公式、というアプローチからも得られる。1.による証明は本来のDanilovの定理に依存しており、2.による証明では固定点への局所化として等式を得る。一方で我々の証明は格子点への局所化の描像を忠実に与えており、さらに退化がない場合として本来のDanilovの定理の別証明も与えており、幾何的かつ直接的なものになっている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度までに得た理論的側面の深化を幾何的に重要な対象に応用することができたため。とくに、昨年得た我々の指数理論の同境不変性が証明の重要な役割を果たしたことは意義深い。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度得た技術をさらに発展させ他の対象にも応用していく。具体的には、Gelfand-Cetlin系やRiemann面上の平坦接続のモジュライ空間のGoldman系などを考察対象とする。
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| Causes of Carryover |
9月にスペインで開催された研究会に参加する際の旅費に関して、主催者側からの補助を受けることができたため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
国内外の研究会に積極的に赴き研究発表および情報交換を行う。
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