2015 Fiscal Year Research-status Report
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26800047
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| Research Institution | Ritsumeikan University |
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Principal Investigator |
野澤 啓 立命館大学, 理工学部, 准教授 (80706557)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 微分位相幾何学 / 葉層構造 / 二次特性類 / 特性類 / 離散群 / 剛性 / Chern-Simons不変量 / Lie群作用 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Gael Meigniez氏（南ブルターニュ大学）とのLie葉層構造に関する共同研究を昨年度に引き続き行い, 昨年度に得たLie葉層構造の剛性定理の証明の簡易化およびRiemann葉層構造の剛性への応用に関する次のような結果を得た. (1)Besson-Curtois-Gallotの測度の重心の議論を用い, 葉の普遍被覆がポワンカレ円板の直和成分を持たない非コンパクト型対称空間となるようなLie葉層構造が等質なLie葉層構造に微分同相になるという剛性定理の昨年度よりも易しい証明を与えた. (2)Riemann葉層構造に対するMolinoの構造定理により, 閉多様体上のRiemann葉層構造はLie葉層構造を葉向計量を保つコンパクトLie群作用で割って得られる. 等質なLie葉層構造の葉向計量同型群を記述することで, Lie葉層構造の剛性定理から葉に関する同様の条件の下でRiemann葉層構に関する剛性定理を得た. 昨年度の成果およびこれらの成果について論文を執筆中である.
Oliver Goertsches氏（ルートヴィヒ・マクシミリアン大学ミュンヘン）とDirk Toeben氏（サンカルロス連邦大学）とのRiemann葉層構造の特性類の局所化に関する共同研究を昨年度に引き続き行い, 昨年度示したAtiyah-Bott-Berline-Vergne型の局所化公式から奇数次元球面上のHopfファイブレーションを変形して得られる佐々木計量のReeｂ流の特性類を計算するBaum-Bottの公式を導出した. この結果は昨年度の成果とともに論文"Localization of Chern-Simons type invariants of Riemannian foliations"に記し, 現在学術雑誌に投稿中である.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Gael Meigniez氏（南ブルターニュ大学）との共同研究では, Lie葉層構造の剛性定理のより見通しの良い証明を与えることができ, Riemann葉層構造の剛性定理への応用まで含め完了することができた.
Oliver Goertsches氏（ルートヴィヒ・マクシミリアン大学ミュンヘン）とDirk Toeben氏（サンカルロス連邦大学）とのRiemann葉層構造の特性類の局所化に関する共同研究についても, Atiyah-Bott-Berline-Vergne型の局所化公式からBaum-Bottの公式を導出でき, 論文"Localization of Chern-Simons type invariants of Riemannian foliations"を完成させることができた.
横断的ケーラー構造を持つ葉層構造およびRiemann葉層構造の特性類の変形に関して昨年度得た結果については, 論文を執筆中である.
以上のように, 様々な結果が得られている.
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| Strategy for Future Research Activity |
Jesus Antonio Alvarez Lopez氏(サンティアゴ=デ=コンポステラ大学)との過去の共同研究において得た横断的に等質な葉層構造の剛性定理を改良する. 上述の研究において, 実, 複素, 四元数およびケーリー数上の双曲多様体の上の横断的に等質な葉層構造について, そのGodbillon-Vey数が極大になる標準的な等質な葉層構造に微分同相になることを示した. ただ, この定理は余次元1の場合にはGodbillon-Vey類が0のものを除いており, この仮定を除くために研究を行う.
SU(n+1,1)の一様格子の作用の剛性はMostow剛性などEuler類や体積などの特性類によって統制される. 一方で, 高実階の半単純Lie群の一様格子の作用に対しては超剛性と呼ばれるより強い剛性が成り立ち, Kazhdanの性質(T)と呼ばれる幾何的条件が大きな役割を果たしていることが良く知られている. Fisher-Margulisの定理により, Kazhdanの性質(T)を持つ群Gの閉Riemann多様体Mへの作用rについてrが局所剛性である, つまり, MへのG作用でrに十分近いものは微分同相によってrに共役である. Meigniez氏との共同研究において扱った等質なLie葉層構造はKazhdanの性質(T)を持つ群作用と近い性質を持っており, この種の葉層構造が局所剛性を持つかどうかについて研究を行う.
Gilbert Hector氏（リヨン第一大学）と円周上の曲面束上の余次元1葉層構造のEuler類の関わる剛性について共同研究を行う. 擬Anosov同相をモノドロミーとする曲面束上の余次元1の葉層構造については, 横断的なアフィン構造を持つという仮定の下での剛性が中山によって示されている. 葉層構造とファイバーの交わりの特異点を研究し, 中山の定理を拡張する.
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