2015 Fiscal Year Research-status Report
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26800049
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| Research Institution | Yamagata University |
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Principal Investigator |
西岡 斉治 山形大学, 理学部, 准教授 (10632226)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 差分代数 / 差分方程式 / 超超越性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は差分Riccati方程式あるいは２階線型差分方程式の解の超超越性に関して、既存研究を精査し、具体的な対象に適用しやすいより一般的な理論を研究した。ここでいう差分Riccati方程式とは、f(x+1)がf(x)に関する一次分数と等しいという形の方程式だけでなく、f(x+1)の代わりにq差分のf(qx)やマーラー型（xにxのd乗を代入する変換）にしたものも含む。なお、超超越性とは、どのような代数的微分方程式もみたさないという性質である。超超越的な関数の例としてガンマ関数がよく知られているが、個々の関数が超超越的かどうか判定するのは一般に難しい。そのため、簡便な十分条件を得ることが本研究の目標である。現在のところ、有理関数の問題に帰着させるような結果を得ている。
また、マーラー関数の超越性に関する論文が出版された。内容は、代数的差分方程式の解の独立性に関する差分代数の結果を、超越数論に応用したものとなっている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
差分Riccati方程式の解の超超越性に関して、古典的研究の精査を終え、証明の代数化および定理の一般化に着手した。すでに一定の前進があり、順調と言える。
代数的差分方程式の既約性に関しては、昨年度に投稿した論文の内容から、既存の理論と手法には汎用性があることが明らかとなっており、qパンルヴェ方程式以外の離散パンルヴェ方程式の既約性を証明するために新しい理論や手法は必要ないようである。
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| Strategy for Future Research Activity |
すでにある程度の結果を得ている差分Riccati方程式の解の超超越性に関する研究は、このまま進める。特に、具体例への適用を視野に入れて命題の簡素化をはかる。また、本年度に参加した研究集会において線型差分方程式のガロワ理論を用いた成果が発表された。差分Riccati方程式は２階線型差分方程式と対応するため、その分析も行いたい。近年では様々なガロワ理論が構築されており、このように超超越性への応用も研究されている。そういった研究者が参加し講演を行う研究集会に参加することで新しい手法についての資料収集を行いたい。
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