2016 Fiscal Year Research-status Report
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26800049
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| Research Institution | Yamagata University |
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Principal Investigator |
西岡 斉治 山形大学, 理学部, 准教授 (10632226)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 差分代数 / 差分方程式 / 可解性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度はｑ差分ベッセル方程式とｑ差分エアリー方程式の非可解性について、その証明を見直した。具体的には、Riccati化したものを反復して得られる全てのｑ差分方程式に対して解の超越性を示す部分について、それらに共通する形式的ベキ級数解の無理性を示す問題に帰着させた。その結果、複素数ｑに課す条件を緩和することも可能となり、従来はｑが超越数であると仮定していたところが、１のベキ根ではないと仮定するだけでよくなった。ｑ差分エアリー方程式はこの仮定のもとで非可解である。ｑ差分ベッセル方程式に関しては、１つあるパラメーターにどんな値が入っていても非可解であることがわかり、微分方程式のベッセル方程式とは異なる状況が得られる。ベッセルの微分方程式の場合はパラメーターの値が半整数ではないという条件が必要であった。
なお、ｑ差分方程式とは f(t),f(qt),f(q*qt),... に関する方程式のことである。また、その可解性の本質的な意味は１階線形ｑ差分方程式を解くことを繰り返して解が得られることである。
上とは別だが関連する「Proof of unsolvability of q-Bessel equation using valuations」という論文が出版された。非可解性の証明には差分体の付値環を用いる。従来は差分体は可逆であることを仮定したが、この論文ではそれを仮定せずに議論を組み立てた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
差分Riccati方程式の解の超超越性に関して、古典的研究の精査を終え、証明の代数化および定理の一般化が暫定的な形ではあるが終わっており、順調と言える。
代数的差分方程式の既約性に関しては、一昨年度に投稿した論文の内容から、既存の理論と手法には汎用性があることが明らかとなっており、ｑパンルヴェ方程式以外の離散パンルヴェ方程式の既約性を証明するために新しい理論や手法は必要ないようである。
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| Strategy for Future Research Activity |
すでにある程度の結果を得ている差分Riccati方程式の解の超超越性に関する研究は、このまま進める。特に、具体例への適用を視野に入れて命題の簡素化をはかる。また、線形差分方程式のガロワ理論を用いた成果が研究集会や論文で発表されるようになっている。差分Riccati方程式は２階線形差分方程式と対応するため、その分析も行いたい。近年では様々なガロワ理論が構築されており、このように超超越性への応用も研究されている。そういった研究者が参加し講演を行う研究集会に参加することで新しい手法についての資料収集を行いたい。
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