2014 Fiscal Year Research-status Report
無限グラフ上のラプラシアンのスペクトルとBECの研究
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26800054
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
鈴木 章斗 信州大学, 学術研究院工学系, 准教授 (70585611)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | ペンダント / スペクトルギャップ / BEC / 無限グラフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、予定されていた「スペクトルギャップの有無とペンダント頂点の配置の関係」に関する予備的研究を行った。その結果、副産物として以下に述べる離散シュレーディンガー作用素のスペクトルに関するいくつかの結果を得ることができた。
これまでの申請者の研究結果により、ペンダント頂点を付加したグラフ上のラプラシアンのスペクトルギャップの有無は、ペンダントをポテンシャルに置き換えたグラフ上の離散シュレーディンガー作用素のスペクトルの言葉で次のように表現できることがわかっている。すなわち、ポテンシャルの強さを表すパラメータを導入し、上のようなポテンシャルをもつ離散シュレーディンガー作用素のスペクトル集合を各パラメータごとに直積した2次元集合を考える。このとき、その2次元集合の対角線をとって、1次元に射影した集合が、原点を除いてもとのペンダントをもつグラフのスペクトルになる。この事実を用いることで離散シュレーディンガー作用素のスペクトルを求めることにより、ペンダントをもつグラフのラプラシアンのスぺクトルギャップの有無を調べることが可能となる。そこで、本年度は、対応するグラフの離散シュレーディンガー作用素のスペクトルを計算した。特に、密度零となるポテンシャルを考え、そのようなポテンシャルの存在によって、離散シュレーディンガー作用素のスペクトルがどのように変化するかについて調べた。副産物として、そのような離散シュレーディンガー作用素の状態密度や表面状態密度などが計算できた。これにより、そのような離散シュレーディンガー作用素を1粒子ハミルトニアンにもつ無限粒子系の臨界密度の有界性も証明できた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初計画では、ペンダントの配置とギャップの有無につい調べる予定であったが、その予備的考察として、対応するシュレーディンガー作用素のスペクトルが理解できた。一方で、そのようなシュレーディンガー作用素に対する臨界密度の有限性が証明できた。
臨界密度の有限性を示すことは、本研究の最終目標であるBECの研究の鍵のひとつである。目標としていた模型とは異なるが、関連のある模型でこのようなことが示せたことで、BECの研究に向けた一つの方向性がみえた。重要な副産物である。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度得られた、離散シュレーディンガー作用素のスペクトルに関する知見を利用して、上述の方法で、目標とするペンダントを付加したグラフのスペクトルギャップの有無を調べる。また、今年度得られた離散シュレーディンガー作用素の臨界密度の有限性の証明法を応用して、目標とする模型の臨界密度の有界性を証明し、BEC状態を構成する。
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