2016 Fiscal Year Research-status Report
無限グラフ上のラプラシアンのスペクトルとBECの研究
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26800054
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
鈴木 章斗 信州大学, 学術研究院工学系, 准教授 (70585611)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 離散シュレーディンガー作用素 / 量子ウォーク / 離散スペクトル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度の結果から、離散シュレーディンガー作用素のスペクトルの情報はある変換を使って、量子ウォークのスペクトルの情報を引き出すことができる。このことを用いれば、量子ウォークの言葉でもBECを記述できる可能性が示唆されている。そこで、本年度は量子ウォークと関連する離散シュレーディンガー作用素のスペクトルの研究に注力した。特に、異方性をもつ1次元量子ウォークや2次元上の量子ウォークに関係する離散シュレ―ディンガー作用素のスペクトルを調べ、以下の結果を得た。
(1) 異方性をもつ離散シュレーディンガー作用素に関係する1次元量子ウォークについて、左右の極限の違いによって、離散固有値が現れることを発見した。特筆すべき点として、このような固有値の出現には、左右の極限のみが関係しているので、原点付近の情報は関係しないことが示せた。また、この固有値に対応する固有状態の空間遠方での指数減衰評価も得た。これにより、固有状態は原点付近に局在するといえる。これらの構造は、この固有状態がトポロジカルな性質をもつことを示唆している。さらに、特異連続スペクトルの非存在を証明し、スペクトル・散乱理論も構築した。
(2) 2次元以上で原点にのみ摂動を加えた量子ウォークに関係する離散シュレーディンガー作用素に対して、離散スペクトル（多重度有限孤立固有値）が現れるための条件を明らかにした。これにより、量子ウォークでも離散スペクトルが現れることが示された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究計画に含まれる離散シュレ―ディンガー作用素のスペクトルに関する研究に進展があり、副産物的に量子ウォークのスペクトルに関する想定外の結果を得ることもできた。また、本年度得られた結果は既に学会等で発表していおり、一部は2篇の論文として雑誌に投稿中である。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度の結果をもとに、離散シュレーディンガー作用素で1量子が記述できるような模型の臨界密度の有界性を証明する。また、対応する量子ウォークの臨界密度も定義し、その有界性を証明する。これらの結果を利用して、BEC状態を構成し研究を完成させる。
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