2017 Fiscal Year Annual Research Report
Functional analytic study on infinite dimensional groups
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26800055
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
松澤 泰道 信州大学, 学術研究院教育学系, 助教 (60645620)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 自己共役作用素 / Weyl-von Neumann同値 / ユニタリ群 / von Neumann環 / 記述集合論 / ハイパー群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，関数解析的なアプローチによって無限次元群の構造を明らかにすることである．研究期間を通じて以下の成果を得た．
まず，ポパの埋め込み問題を否定的に解決した．これは，無限次元ヒルベルト空間上のユニタリ作用素全体が作る群に埋め込める位相群が両側不変距離を持てば，適当な有限フォンノイマン環のユニタリ群に埋め込めるか？を問う問題である．この問題を，離散群の一様有界表現がいつユニタリ化可能か？という問題と関連付けて解決した．本年度はこの関連を逆に用いて，離散群の一様有界表現を無限次元群の立場から調べた．
次に，ヒルベルト空間上の自己共役作用素を記述集合論の立場から調べた．自己共役作用素はユニタリ群の１パラメタ部分群の生成子である．従って自己共役作用素を調べることは，１パラメタ部分群を調べることと同じである．さて，２つの自己共役作用素がユニタリ共役とコンパクト作用素による摂動でうつりあえるとき，Weyl-von Neumann同値と呼ぶことにする．本研究では，この同値関係が可算構造による完全不変量を持たないことを示した．また，２つの自己共役作用素が同一の本質的スペクトルをもち，本質的スペクトルが無限遠で大きな穴を持たなければ，Weyl-von Neumann同値であることを示した．さらに，自己共役作用素に関連する同値関係を定義し，その同値関係の複雑さを調べた．
最後に，副産物として，ハイパー群の構造に関する成果を得た．位数３までのハイパー群は可換であることが知られていたが，位数４のハイパー群も可換であり，位数５で初めて非可換なハイパー群が現れることを明らかにした．
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