2017 Fiscal Year Research-status Report

自己相似性に注目した劣拡散的なランダム媒質中の多次元拡散過程の漸近挙動の解析

Research Project

Project/Area Number	26800063
Research Institution	Tokyo Gakugei University
Principal Investigator	高橋弘東京学芸大学, 教育学部, 准教授 (30413826)
Project Period (FY)	2014-04-01 – 2019-03-31
Keywords	ランダム媒質 / 自己相似確率過程 / 従属性を持つ確率変数
Outline of Annual Research Achievements	平成29年度は，(i)ランダム媒質中の拡散過程の問題に由来する確率微分方程式に関する研究(ii)非連結なフラクタル図形上の確率過程に関する研究(iii)劣拡散的な多次元拡散過程の再帰性の強さを定量的に説明することを目的とした研究の３つの方向性の研究に着手した。 (i)については，ランダム媒質中の拡散過程をモデル化することを目的とした確率微分方程式をある種の従属性を持つ確率変数で近似する問題を考え，確率微分方程式の解に収束する速さを求めることができた。この結果の一部は論文として発表した。また，この論文で用いた手法を発展させることで，確率微分方程式の係数を推定する研究にも着手し，一定の成果をえることができた。この結果は，２０１８年７月に台湾で行われる研究集会において招待講演として発表する予定である。 (ii)については，３進カントール集合を具体例とする空間上でランダム媒質の問題を考察した。非連結なフラクタル図形上においては連続的に変動するブラウン運動を，代表者らの以前に研究において１次元拡散過程の理論で構成した。この拡散過程が見るランダムな景色について，あらたなスケーリングをとることで，スケーリングが異なる，非連結なフラクタル図形上で連続的に変異する確率過程が存在することがわかった。この結果は研究集会で発表し，現在，論文を作成中である。また，この手法をさらに深化させることで劣拡散的な拡散過程が構成できることがわかりつつある。 (iii)については，弱い自己相似性を持つ半安定Levy過程を媒質として，その自己相似性が変動したときの拡散過程の漸近挙動を解析し，変動の影響を調べた。次元による特異性は，今のところわかっていないが，自己相似性が変動するという点については新規性があると考えられる。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 本研究課題を遂行するための計画通りには研究が進められなかったが，申請時には予想がつかなかった方向性での研究を進めることができ，本年度の調査結果について，論文として発表でき，学会等で報告することもできたため，概ね順調に進展していると判断する。
Strategy for Future Research Activity	平成２８年度に考察した問題について，論文を引き続き作成することを第１とする。また，２０１８年７月に台湾で行われる国際研究集会において講演することで，得られた結果を洗練させ，また新たな問題を見つけられるような議論を行う予定である。
Causes of Carryover	海外渡航（台湾大学）を計画していたが，学内業務等のため，平成２９年度に行くことができなかった。一方で，電子メールなどを用いた議論を通じて研究が進行した。そこで，平成３０年に台湾で開催される研究集会への参加費および旅費として使用する予定である。