2014 Fiscal Year Research-status Report
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26800065
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| Research Institution | Akita University |
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Principal Investigator |
原田 潤一 秋田大学, 教育文化学部, 准教授 (00580169)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 偏微分方程式 / 複素熱方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非線形方程式の多様性を考察する目的で、空間一次元冪乗型非線形項を持つ複素熱方程式に対する爆発問題の漸近解析を行った。本研究では、従来の実数値方程式の場合には現れない複素方程式特有の現象を探索し、以下二つの結果を得ることができた（両方とも論文投稿中）。１、一つ目は、爆発点の位置が複素成分の零点によって特徴付けられるという結果である。これは下條氏らによって示された複素数値方程式に対する大域可解性定理を局所版に拡張することで得られたものである。その中でも、爆発解の不安定性と複素成分の零点の個数との関係性を明らかにした点は新しい視点であり、本研究の鍵となっている。現在この解析手法を応用して、初期値集合の中に大域可解性集合が稠密に分布しているのではないかという予想の解決に取り組んでいる。２、二つ目は、非同時爆発の可能性についての結果である。これはザーグ氏らによって得られた同時爆発に対する漸近公式を一般化することで得られたものである。従来の問題とは異なり、一つの方程式の中に同時爆発と非同時爆発が共存する点が新しい。また漸近公式を用いた同時性解析はこれまでには無いもので、爆発時において、各成分がどのように相互作用しているのかを見積もれる点で優れている。実際、それぞれの成分が独立に振る舞う場合とお互いに相互作用しながら爆発する両方の場合があることが示された。しかし、漸近公式を得たものの、実際にそのような解が存在するのかについては未解決である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
空間一次元の場合については、新たな解析手法を構築することで、当初予定していた爆発解の不安定性定理を証明することができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
１、昨年度に残した課題である大域可解性集合の特徴付けについての解析を行う。そのために長時間挙動解析と、爆発解に対する初期値摂動問題の不安定性解析を行う。
２、空間多次元の場合に、定常解構造・安定性について考察し、複素成分が定常解構造に与える影響を明らかにする。またそれと同時に、空間多次元の場合にのみ現れる爆発現象に対して、その爆発の機構を明らかにする。
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| Causes of Carryover |
当初予定していた研究集会の参加を見送ったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
研究集会に参加するための旅費として使用する。
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