2014 Fiscal Year Research-status Report
可積分系の高次非線形分散型方程式に対する初期値問題の適切性と漸近挙動
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26800070
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| Research Institution | Saga University |
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Principal Investigator |
加藤 孝盛 佐賀大学, 工学(系)研究科(研究院), 講師 (50620639)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 偏微分方程式論 / 非線形分散型方程式 / 初期値問題 / 可積分系 / 適切性 / 漸近挙動 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
申請者は, 非線形分散型方程式に対する初期値問題の適切性と解の長時間挙動を調べる研究を行った. 適切性とは解の一意存在と初期値に対する連続依存性のことである. これらの研究において線形化方程式の解の性質と非線形項の幾何学的な構造を合わせて取り扱うことが重要になる. 研究が進展する上で滑らかさが悪くなり, 時間減衰の遅くなる非線形相互作用が共鳴部分に存在することがわかってきた. そのため, 本研究において共鳴部分の解析が鍵となる.
申請者は, 無限個の保存則を持つ可積分系とよばれる方程式のクラスに属する5次KdV方程式および5次mKdV方程式の初期値問題の時間局所的適切性を周期境界条件下で考えた. これらの方程式は特異性の強い非線形項を持つため, 直接的には線形近似に基づく手法が機能しないが, この問題を可積分系が持つ豊富な対称性を用いることにより解消することができた. 具体的には問題となる共鳴部分を複数個の保存量を用いた非線形変換を用いることにより相殺し,
残りの非線形項は線形化方程式の解の摂動と捉えることができるため, 時間局所適切性が得られた. このように調和解析的手法と可積分系の構造を組み合わせた結果は, 非線形分散型方程式の研究ではほとんどなく独創的な点であり,
ある程度の汎用性があると考える.
実際に可積分系の4次シュレディンガー方程式において初期値を確率変数として与える問題を周期境界条件下で考え, 上述の手法と確率論的手法を組み合わせることにより, 時間局所解を時間大域的に延長することができ, その解が回帰性があることを示した. 回帰性とは解が有限時間内に初期値の近傍に戻ってくることを指し, この結果により力学系の観点から解の挙動をある意味で特徴づけすることができた.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
上述の研究成果では当初の予定に到達していない部分がある. 具体的には5次KdV方程式及び5次mKdV方程式の初期値問題の適切性に関する結果を論文としてまとめることができなかった. その原因の一つは, 平成25年の6月から名古屋大学の特任助教から佐賀大学の講師に昇進したため, 担当する講義や学内の業務が増え, 研究に割ける時間が大幅に減少したことにある. しかし本年度の前期が終了すれば, 1年間を通じて講義や業務に携わったことになり要領も把握できるため, ある程度の研究時間を確保できると考えている.
一方で環境が変化したことや確率論にも研究の関心がでてきたことが影響し, RIMS研究集会「偏微分方程式に付随する確率論的問題」と佐賀大学で開催した「Saga Workshop on PDE」という二つの研究集会の組織委員となり, 運営に携わった. これらは本年度も継続し開催する予定であり, 前者の方は申請者が代表者となりRIMS共同研究として採択された.
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究課題として二つの問題を以下に述べる. 一つ目は, 一般のn次KdV方程式やmKdV方程式の初期値問題を周期境界条件下で考えその適切性を解明する研究をあげる. 次数が高次の方程式は次数に関する帰納的な表示を持つだけで, 明示的な方程式の形を求めることはできない. このため問題となる共鳴部分を厳密に決定できなくなり, 共鳴部分を相殺するための保存量を利用した適当な非線形変換を求めることが難しくなる. この問題の解決のためには, 方程式の導出に関連するLax pairやGrassmann 多様体の特徴と共鳴部分を関連性を明確にすることが鍵になると思われる. この研究は名古屋大学の津川光太郎氏と共同で行う予定であり, 名古屋大学で行われる微分方程式セミナーに参加するなどして情報を交換を行う予定である.
もう一つの研究課題として, ユークリッド空間における4次シュレディンガー方程式や5次mKdV方程式に対する初期値問題の解の長時間挙動を調べる研究を行う. これらの方程式は線形化方程式の解に漸近する短距離型とそうではない長距離型のちょうど臨界に対応しており, この研究の中で重要な問題として位置づけされている. この問題では上述の適切性の問題で考えた平滑化効果が得られない共鳴部分の他に解の時間減衰が得られない共鳴部分を取り扱わなければならない. これらの共鳴部分の共通部分を解析することが重要であるが, 可積分系の構造を利用した保存量も用いた変換や gauge 変換とよばれる適当な非線形変換を発見することでそれを相殺することが可能であり, それに既存の手法を応用することで解の長時間挙動を決定できると予想している. 本研究は名古屋大学の平山浩之氏との共同で進展させる方針である. またこの分野で多くの業績をあげている東北大学の瀬片純市氏を訪れ, 議論することを考えている.
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| Causes of Carryover |
平成26年の6月から名古屋大学の特任助教から佐賀大学の講師に昇進したため, 担当する講義や学内業務等の関係で予定していた海外出張に行くことができなかったことが大きな理由である.
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
本年度の8月以降はある程度研究に割ける時間を確保できるため, それを利用して海外に留学する予定をしている. 具体的には, 可積分系の構造と調和解析的手法を組み合わせた研究に興味を抱いてくれたボン大学のHerbert Koch教授やセルジポントワーズ大学のNikolay Tzvetkov教授を訪問することを考えている.
またRIMSでの「偏微分方程式に付随する確率論的問題」や佐賀大学での「Saga Workshop on PDE」といった研究集会の組織委員として講演者や参加者の旅費をサポートする予定である.
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