2016 Fiscal Year Research-status Report
可積分系の高次非線形分散型方程式に対する初期値問題の適切性と漸近挙動
| Project/Area Number |
26800070
|
|---|
| Research Institution | Saga University |
|---|
Principal Investigator |
加藤 孝盛 佐賀大学, 工学(系)研究科(研究院), 講師 (50620639)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
|
| Keywords | 偏微分方程式 / 非線型分散型方程式 / 初期値問題 / 可積分系 / 適切性 / 漸近挙動 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
申請者の研究題材は、高次非線形分散型方程式の初期値問題の適切性と解の漸近挙動である。ここで適切性とは、解の一意存在及び初期値に対する連続依存性が成立することを指す。非線形分散型方程式の解析において、線形化方程式の解の性質と非線形項の代数的及び幾何的構造を反映した手法を構築することが重要になる。特に近年の研究において、滑らかさを悪くする部分と時間減衰が遅く部分が共鳴部分という非線形項に集中することが分かってきたため、適切性や解の漸近挙動の研究において共鳴部分の解析が鍵となる。申請者は、KdV 階層及び mKdV 階層の初期値問題を周期境界条件下で考えた。これらは無限個の方程式からなる階層であり、それに含まれるすべての方程式は共通した無限個の保存則を持つという可積分系であり、豊富な構造を有することが知られている。一方で高次の方程式には特異性の強い非線形項が存在し、それを線形化方程式の解の摂動として捉えることができないため、適切性に関する結果は少ない。そこで申請者は5次 KdV 方程式及び5次 mKdV 方程式に対して、複数個の保存則を用いた非線形変換によって方程式を書き換えることで、最も特異性の強い共鳴部分を相殺し、残りの非線形項は線形化方程式の解の摂動として捉えることを示すことができ、時間局所適切性を証明した。このように可積分系が持つ代数的な構造を非線形分散型方程式の理論に取り入れた点が本研究の最も独創的な部分である。なお本研究は名古屋大学の津川光太郎氏との共同研究に基づく。
上述で構築した精密な非線形評価を応用し、確率論的手法を組みわせることで初期値を確率化して不変測度を構成することにより、5次 mKdV 方程式及び4次シュレディンガー方程式の局所解を時間大域的に延長することができた。またそれと同時に解の回帰性も証明でき、力学系の観点からの解の挙動の特徴を見出せた。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
研究実績で述べた周期境界条件下での5次 KdV 方程式や5次 mKdV 方程式に対する初期値問題の適切性及び不変測度に関する論文が完全には出来上がっていない。大学側の予算削減に伴い、非常勤講師を雇えなくなり授業数のコマ数が大幅に増えたことや学部改組に伴い委員会活動が増え、研究に従事する時間が削減されたことが原因にあげられる。本年度で大学内の改組も一段落するため、ある程度研究に費やす時間を確保できるため、研究実績で述べた結果を論文という形まとめ学術雑誌に投稿することを目標とする。
宮崎大学で開催した「PDE Workshop in Miyazaki」及び佐賀大学で開催した「Saga Workshop on Partial Differential Equations」において組織委員となり、研究集会の運営に携わることができた。これらの研究集会では幅広い分野の研究者に講演して頂き、研究の関心が広がった。参加者からもよい評価を頂けたため、来年以降も継続する予定である。
|
| Strategy for Future Research Activity |
周期境界条件下において一般のn次 KdV 方程式及び mKdV 方程式に対する初期値問題の適切性を解明する。 特にエネルギー空間における時間大域適切性を示したい。一般の次数の方程式は具体的な表示はなく帰納的にしか表現できないため、5次の場合のように共鳴部分を相殺する非線形変換を発見することが難しい。そこで7次、9次の場合に具体的な計算することにより共鳴部分を相殺する変換の規則性を見出す。そして一般の次数の場合に対応する適当な変換を推測し、帰納的な証明を与えることが重要な課題となる。一方で共鳴部分が相殺できれば、組み合わせ論の議論を応用することである種の平滑化効果が引き出せ、非線形項を線形化方程式の解の近似として捉えることができると考えている。
次に1次元ユークリッド空間における5次 mKdV 方程式及び4次シュレディンガー方程式の漸近挙動を調べる。これらの方程式は線形化方程式の解の減衰から線形化方程式の解に漸近的に収束する短距離型とそうではない長距離型の臨界に相当する非線形項を持つことがわかり、この分類を行うことより各方程式の一つの特徴付けを与える。この問題において滑らかさが悪くなる共鳴部分と時間減衰が遅くなる共鳴部分を両者を同時に取り扱わなければならないことが困難な点である。一方、これらの共鳴部分は強い特異性を持つ反面、方程式が持つ対称性を反映できる部分である。そのため適当なゲージ変換や複数個の保存則を用いた変換を組み合わせることにより、問題となる共鳴部分を相殺することができ、残りの非線形項が線形化方程式の解よりも減衰が速いことを証明できると考えている。アイデアは非常にシンプルであるが、実際の証明には発展的な調和解析の道具が必要となるため、その分野に精通している大阪大学の冨田直人氏や宮崎大学の平山浩之氏と密に連絡をとり、情報交換していく予定である。
|
| Causes of Carryover |
差額は生じたがそれは8000円程度である。計画していた出張に行くことができ、ほぼ計画通りに使用できたと考えている。
|
| Expenditure Plan for Carryover Budget |
差額は8000円であるため、書籍などに使用する予定である。
|
