2015 Fiscal Year Research-status Report
離散可積分系の超離散極限および有限体上での数理構造の研究
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26800075
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
間田 潤 日本大学, 生産工学部, 准教授 (80396853)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 応用数学 / 可積分系 / 離散系 / クラスター代数 / セルオートマトン / 数理医学 / 血管新生 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有限体上での時間発展において，1回の時間発展では還元によって時間発展に破綻が生じてしまう場合がある．そこで，何回か時間発展を行ってから還元したものを採用することにより，この破綻を回避するAlmost good reductionの考えを導入した．しかし，この考え方は元の離散方程式において，順番の近い解が互いに素であることに他ならないことから，離散方程式の解における「互いに素条件」に注目して研究を行った．結果として，離散KdV方程式，離散戸田方程式（半無限境界，分子境界条件，周期境界条件）において，互いに素条件が成り立つことを示し，離散方程式の可積分性を特徴づける指標が得られたと考える．
現在は離散可積分系と深い関わりを持つクラスター代数に着目し，同手法を元に両者の関わりを明らかにすることを試みている．
また，離散系の手法，特にセルオートマトンの考え方を用いることにより，色々な現象を捉えることができる．近年，血管の成長に細胞の1つ1つの動きが大きく関わっているという実験結果が報告されており，これまで離散系や超離散系で培ってきた経験を活かし，細胞の運動を数理モデル化を試みた．まだまだ単純なモデルではあるが，血管の成長，特に細胞の運動の特徴を表すモデルを構成することが出来ており，更に現実的なモデルに近づけることによって，血管の成長メカニズムを明らかにしていきたい．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
周期箱玉系の相関関数について進展できていない点が問題であるが，離散可積分系の考察については順調に進んでいる．また，離散および超離散の手法を元に医学の分野への応用が見いだされたことにより，今後の研究計画に変更が生じるものと思われる．
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| Strategy for Future Research Activity |
進行が止まっている周期箱玉系の相関関数についての研究を進めていく．具体的には，行列を用いて周期箱玉系の相関関数を求めることを考え，その後，フーリエ級数を用いた母関数の導出を行い，両者の比較から相関関数の理解を深めていく．
合わせて，クラスター代数における考察を進め，離散可積分系との関わりを明らかにしていくことと，血管の成長についての数理医学モデルをより現実的な形へと改良し，血管の成長メカニズムを明らかにしていくことの2点についても研究を遂行していく．
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| Causes of Carryover |
物品については，パソコンのリプレースが出来なかった点と購入を予定していたソフトについて業者とのやりとりが上手くいかなかったため未購入になってしまった点で，予定していた額を使えなかった．また，旅費については，海外の学会・研究会への参加が日程の不都合で出来なかったため，使用を予定していた旅費が残ってしまった．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
数値計算を行う研究が進んでいるので，早い段階でパソコンのリプレースを行うとともに，利用予定のあるソフトを業者に依頼して購入する．海外で開催される学会・研究会がいくつかあるので，研究成果を報告できるように日程を調整して出席したい．
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