2014 Fiscal Year Research-status Report
グラフの支配数に関する縮約臨界性と，Vizing 予想への応用
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26800086
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
古谷 倫貴 東京理科大学, 理学部, 助教 (40711792)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | グラフ理論 / 支配数 / Vizing予想 / 直径 / 多彩支配数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
２６年度は，目標としていたVizing予想の解決に向けて，支配数に関する大域的な研究を行った．より具体的には，以下の内容について研究を行った．
１．【支配数に関する臨界性】Vizing予想の解決のために重要であると考えられている支配数の臨界性について，２６年度は重臨界性に着目して研究を行った．その一環として，次のような結果が得られた．
ａ．重臨界性と非常に似ている「頂点臨界性」という概念に対して，重臨界性との共通の一般化を発見し，その一般化がある意味で有用な一般化であることを証明した．特に，頂点臨界的なグラフに関する直径の上界を一般化することができた．
ｂ．重臨界性を持つグラフの直径に関して知られていた予想に対して反例を与えた．一方で，支配数の分布を調査することで，重臨界的グラフの直径に関する問題に重要と考えられる不等式を与え，新たな予想を提案した．
２．【多彩支配数に関する不等式】Vizing予想に関する既存の結果として，多彩支配数を用いた不等式が知られている．本研究ではその不変量と，研究が盛んに行われている全支配数に関して，近年提案された予想を解決した．この結果を用いることで，全支配数の結果が用いた多彩支配数の研究が発展することが期待できる．また，この証明は非常に短く，かつ支配数に関する研究に対して新たな方針を与えたものであり，今後の周辺研究の発展にも寄与するものであると考えられる．
以上が本年度に得られた結果である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
「研究計画」で述べたように，２６年度は臨界性を持ったグラフの構造を調査することを目標としていた．現在までにVizing予想の解決に直ちに関連するような結果は得られていないが，より広い意味での発見がいくつもあった．これらは２７年度以降の研究に大きく役立つものであると考えられるため，総合的に考えて，研究はおおむね順調に進んでいると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
２６年度に得られた結果を基に，よりVizing予想に直結した議論を展開していく．特に，二重射影法の適用のためには，更なるグラフの分析が必要であると考えられるため，より精密な研究を行うことが重要となる．また，臨界的グラフの調査として，直径に関するより厳密な不等式の研究を行う予定である．
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| Causes of Carryover |
２６年度は，当初の計画よりも出張が多かった一方で，書籍などの物品資料が計画していたほど必要とならなかった．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
２６年度の研究で必要としなかったが，２７年度以降の研究では必要であると考えられる書籍や資料がある．また，２７年度は九州など長距離の出張が新たに計画に加わった．したがって，助成金はその執行に使用することを考えている．
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