2016 Fiscal Year Research-status Report
グラフの支配数に関する縮約臨界性と，Vizing 予想への応用
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26800086
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| Research Institution | Kitasato University |
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Principal Investigator |
古谷 倫貴 北里大学, 一般教育部, 講師 (40711792)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | グラフ理論 / 支配数 / Vizing予想 / 臨界頂点 / Vizing予想 / 多彩支配数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
２８年度は過去２年間の研究を踏まえて，支配数に関する臨界性と多彩支配数の両方の観点から，より細かい研究を行った．このいずれの概念も，本研究の最終目標であるVizing予想の解決に関連するものとして知られている．また，支配数に関する総合的な研究として，有向グラフの支配数について結果が得られた．より具体的には，以下の内容について研究を行った．
1. 支配数に関する臨界性については，頂点除去や辺追加などに関するものが研究されており，相互の関係も調べられている．本研究では，Vizing予想に関係深い概念である臨界頂点に着目し，そこから派生した２つの臨界性（頂点除去臨界性と２頂点除去臨界性）を一般化することに成功した．その結果として，臨界性を持つグラフの直径に関するいくつかの定理を統一的に述べることが出来るようになった．
2. 多彩支配数に関する研究として，最小次数が２以上の3-多彩支配数の最善な上界を，グラフの縮約操作を駆使することで得ることが出来た．この結果をもって，多彩支配数についての最小次数２以上という条件での基本的な上界問題がすべて解決した．
3. 有向グラフにおける支配数について，その概念が２部グラフ上の全支配数と１対１対応することを発見した．これにより，既存の結果を別の定理の系として導くことができるようになった．また，全支配数の既存の様々な定理を有向グラフに還元することで，有向グラフ上の支配数に新たな知見をもたらすことが出来た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の目的であったVizing予想に関する研究を行う過程で，支配数に関する多くの研究成果が得られた．特に，支配数に関する臨界性と多彩支配数という，Vizing予想の解決に直結する２つのアプローチ方法のそれぞれに対して結果が得られた．したがって，研究は順調に進展していると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでに得られた研究成果を基に，二重射影法を用いて直接的なVizing予想へのアプローチを行う．また，その過程で支配数に関する臨界性を持つグラフの部分構造の把握が必要であると考えられるため，そのような方面からの研究も行う予定である．
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| Causes of Carryover |
２８年度は大学の所属が変わったことにより，当初予定していた研究集会に参加する日数が少なくなったため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
２９年度は共同研究として，新潟と熊本への出張予定が新たに計画に入った．したがって，助成金はその執行に使用する予定である．
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