2014 Fiscal Year Research-status Report
ハイブリッド型不連続Galerkin法のスキーム開発と数学解析
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26800089
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
及川 一誠 早稲田大学, 理工学術院, 助教 (10637466)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 不連続Galerkin法 / ハイブリッド法 / 有限要素法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，ハイブリッド型不連続Galerkin(HDG=Hybridized Discontinuous Galerkin)法の弱安定化法に関する研究を行った．弱安定化HDGスキームは，従来のHDG法で用いられていた安定化項に対して，一つ下の次数の多項式空間に$L^2$射影を施すことにより得られる．その結果，未知数を減らすことができ，計算コストが減らせるのが利点である．まず，Poisson方程式について，弱安定化スキームの誤差解析を行った．その結果，近似解がエネルギーノルム及び$L^2$ノルムについて，最善オーダーで収束することを証明できた．数値実験により，従来のHDG法と同程度の精度の近似解を，より少ない計算コストで得られることを実証した．さらに，弱安定化スキームのある特殊な場合と，Crouzeix-Raviartの非適合有限要素法とがほとんど一致することを明らかにした．
同様のアイデアに基づいて，Stokes方程式に対する弱安定化スキームの研究を行った．Poisson方程式の場合の誤差解析法と，infsup条件に関するEgger-Walugaによる結果とを組み合わせることにより，流速と圧力の両方について，最善次数の誤差評価を示すことができた．Poisson方程式の場合と同様に，提案手法の特殊な場合とCrouzeix-Raviart非適合有限要素法との関連性についても示すことができた．さらに，より一般的な場合について，安定化パラメータ$\tau$を無限大に飛ばしたとき，近似解がGauss-Legendre非適合有限要素解に収束することも証明できた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
Poisson方程式およびStokes方程式に対して，ハイブリッド型不連続Galerkin法の弱安定化スキームの数学理論の基盤を確立できた．さらに，非適合有限要素法との関連性についても，解明することができ，当初の予定を越える結果を得られた．
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| Strategy for Future Research Activity |
ハイブリッド型不連続Galerkin法の弱安定化スキームの研究を継続して行う．Poisson方程式やStokes方程式などの，移流項を含まない拡散問題の場合は十分になされたので，その結果を発展させ，移流問題の場合の研究に着手する．
同時に，安定化パラメータ$\tau$に関する近似解の挙動を理論的に調べる予定である．特に，$\tau$を無限大に飛ばしたときの極限について詳細に検討する．
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| Causes of Carryover |
物品費の使用額は予定通りであったが，旅費及びその他の当該年度使用額が，当初の予定額を下回ったため，次年度使用額が生じた．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
旅費及び図書の購入，計算機端末の購入に充当する予定である．
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