2017 Fiscal Year Annual Research Report
Construction of computable measure theory
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26870143
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
宮部 賢志 明治大学, 理工学部, 専任准教授 (00583866)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 計算可能測度論 / Schnorrランダム性 / 微分定理 / 密度ランダム性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は計算可能測度論の基礎理論の構築を目指したものである．測度論は確率論の基盤でもあり，現実世界の様々な現象を理解する上で重要な役割を果たす．特に計算との関連は，乱数，暗号，機械学習などとも関わる応用分野の広い話題である．一方で測度論は計算可能性という観点から見ると必要以上に複雑でその計算との関連は見えにくくなっている．本研究は計算可能性およびランダム性の観点から測度論を構築し直すことで，確率が絡む現象に新たな視点を与えようとしたものである．
具体的な成果としてランダム性を測る新たな尺度を提案しそのより良い性質を示したことが挙げられる．筆者の以前の研究により，Schnorrランダム性に対する独立性定理を成り立たせるためには一様相対化を行う必要があることが分かっていた．この一様相対化から自然に表れる還元性としてLR還元のSchnorrランダム性版はMartin-Lofランダム性の場合のような良い性質を持つ．また，計算可能測度機械や全域機械から自然に導かれる還元性はSchnorrランダム性だけでなく，2ランダム性などの他のランダム性とも相性が良いことも分かった．また，Lebesgueの微分定理に関連したランダム性として密度ランダム性という新たな概念を提唱した．マルチンゲールの収束に関わるこのランダム性は非常に多くの同値な特徴付けを持ち，広い応用が期待される．更にSolovay還元性内にでのSchnorrランダム性や部分ランダム性との関連についての結果も得た．
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