2015 Fiscal Year Research-status Report
Cubature公式、ヒルベルト恒等式、最適実験計画の相互間研究
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26870259
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
澤 正憲 神戸大学, その他の研究科, 准教授 (50508182)
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2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 有理的デザイン / Hausdorffの構成法 / エルミート行列 / Fisher型不等式 / 測度空間上のデザイン |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１．一変数のガウス積分に関する有理的なcubature公式（有理的デザイン）は、Waring問題に関するある不定方程式系の解の存在問題と等価になることが知られている。本年度は、内田幸寛氏（首都大東京）と共同で、特殊関数論および代数幾何の観点から当該問題に取り組んだ。
２．エルミート行列のinertiaに関するある不等式を導出した。また、その応用として、ブロックデザインのブロック数の下限を与えるFisher不等式の別証明を与えたり、splitting BIB designに関するFisher型不等式の改良を行った。さらに、グラフの完全二部グラフ分解の問題や等長埋め込みの問題への応用性も明らかにした。
３．山本裕貴氏（神戸大）、平尾将剛氏（愛県大）と共に、超八面体のcorner vector以外の点を考慮して、高次元のユークリッドデザインを構成する手法を提案した。また、その応用として、これまで存在性の知られていなかった古典的な（有限次元）バナッハ空間の等長埋め込みの例を発見した。
４．解析的デザイン理論に関する基礎研究として、Fisher型不等式（cubature公式の点の個数の下限）、Sobolevの定理（群軌道からなるcubature公式の構成法）、Tchakaloffの定理（cubature公式の漸近存在定理）の一般関数空間上での拡張を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
【研究実績の概要】に記載した３項目のそれぞれについて、招待講演を含む数件の口頭発表を行った。特に項目２については、研究成果が組合せ数学における世界的トップジャーナル Journal of Combinatorial Theory Series B に学術論文として発表され、顕著な成果を挙げた。項目１、３については、現在、得られた成果を学術論文としてまとめている。
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度は解析的デザイン理論に関する基礎研究の成果のまとめの作業に進む。平尾将剛氏と共に、一連の研究成果を軸として、解析的デザイン理論に関するメモワール（ないしレクチャーノート）の執筆に取りかかりたい。
本年度までに残された課題も適宜進めていく。
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