2014 Fiscal Year Research-status Report
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26870289
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
多羅間 大輔 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 特別研究員(PD) (30722780)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | Hamilton力学系 / Poisson力学系 / Birkhoff標準形 / 完全積分可能系 / モノドロミー / 安定性解析 / Lie環論 / 剛体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Lie群上の自由剛体(左不変計量に関する可積分測地流)の力学系について，U(n)上では孤立平衡点は一般にすべて楕円型(安定)であることを示したスイスの共同研究者との共著論文を，孤立平衡点の位置の決定や平衡点の非退化性を証明するために用いるbi-Hamilton構造の一般論についての考察等を加えて大幅に改稿した上で現在学術誌へ投稿中である．さらに，複素半単純Lie群の正規実形・コンパクト実形上の自由剛体の力学系について，それぞれすべて孤立平衡点が双曲型(不安定)・楕円型(安定)となることを示した論文(同じスイスの共同研究者との共著論文)を執筆した．その後，C型単純Lie群の正規実形でもコンパクト実形でもない実形上で定義される可積分系であるBloch-Iserles系について全ての孤立平衡点は楕円型(安定)であることを示した．このBloch-Iserles系に関する結果を正規実形・コンパクト実形上の自由剛体の力学系についての論文に盛り込むため，現在改稿を行っている．
次に，1自由度Hamilton力学系のBirkhoff標準形の解析接続による大域的挙動について，SO(3)上の自由剛体のEuler方程式の一般化である3次元アフィン空間上の特別なクラスのPoisson力学系の場合に考察を行った．その結果，Gaussの超幾何微分方程式との関係が明らかになり，モノドロミーの具体的計算に成功した．この結果に関してセミナーで講演を行った．今後，平面上の1自由度Hamilton力学系のBirkhoff標準形の解析接続による大域的挙動に関する研究を行い，その結果と合わせて論文を執筆・発表予定である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Lie群上の左不変計量に関する可積分測地流の力学系について，U(n)や複素半単純Lie群の正規実形・コンパクト実形の場合に研究し得られた結果に関して論文執筆を行った．そのうち1編は投稿中であり，残りの1編はBloch-Iserles系に関して得られた最近の結果を盛り込むために改稿中である．とりわけ，Bloch-Iserles系に関する結果によって，複素半単純Lie群の正規実形でもコンパクト実形でもない実形上の自由剛体の力学系の平衡点について安定性解析を行う必要性が高まった．
一方で，当初の計画にあった2次元平面上の1自由度Hamilton力学系のBirkhoff標準形の解析接続による大域的挙動よりも，SO(3)上の自由剛体の力学系の自然な一般化である3次元アフィン空間上のPoisson力学系についての考察を優先した．このようなPoisson系に関して得られた結果は，2015年度に2次元平面上の1自由度Hamilton力学系についても研究を行って得られた結果を総合して論文の執筆および学術誌への発表を行う．
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| Strategy for Future Research Activity |
2015年度は以下のような研究を行って，研究計画を推進する予定である．
平面上の1自由度Hamilton力学系のBirkhoff標準形の解析接続による大域的挙動と力学系に付随する超楕円ファイブレーションの関係について複素解析幾何学的な視点から考察する．また，対応する量子力学系に関してもSchroedinger作用素のスペクトルの構造の解析を行う．
次に，半単純Lie群上の自由剛体の力学系やCalogero-Moser系についてBirkhoff標準形の解析接続による大域的挙動を解析する．半単純Lie群上の自由剛体の力学系の平衡点の安定性と数値計算アルゴリズムとの関係についても研究を行う．
さらに，Lie群上の自由剛体(左不変計量に関する可積分測地流)の力学系の量子力学系を考え，古典系の保存量に対応する可換なSchroedinger作用素の同時スペクトルの構造を解析する．現在特に，SO(n)の場合にエネルギーおよび角運動量の2乗ノルムに対応する可換な左不変作用素の同時スペクトル分解について考察中である．
実楕円ファイバー空間の幾何学的な構造に関しても，複素解析幾何学・微分幾何学の両面から考察する．特に，全空間がシンプレクティック構造や接触構造をもつ場合に関して重点的に考察を進める．
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| Causes of Carryover |
当初は2014年度に計算機を購入し半単純Lie群上の自由剛体の力学系の平衡点についての安定性と数値計算アルゴリズムとの関係についての研究を開始する予定であったが，進展のあった他の理論的研究に重点を置くこととし，計算機を用いた研究は2015年度以降に行うこととした．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
2015年度は，前年度所要額のうち次年度使用額と2015年度請求分の助成金と合わせて，主として出張旅費・計算機等の物品購入費にあてる予定である．
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