曲面の写像類群に対する表現論的アプローチ

2015 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 26870368
• Research Institution: The University of Electro-Communications
• Principal Investigator: 榎本 直也 電気通信大学, 情報理工学(系)研究科, 准教授 (50565710)
• Project Period (FY): 2014-04-01 – 2018-03-31
• Keywords: 写像類群 / Johnson準同型 / 表現論 / 量子群

Outline of Annual Research Achievements

本年度は、曲面の写像類群に付随して得られるJohnson準同型についての研究を継続した。
曲面の写像類群のトレリ部分群は、次数付きリー環とJohnson準同型を通じて、ある次数付きベクトル空間の中に近似することができる。これに一般線型群やシンプレクティック群の表現論を適用することによりその構造を調べることで、近似の精度を精密に記述することが、本研究の主目的である。特に佐藤隆夫氏との共同研究により、Johnson準同型の余核に新しいクラスを見出すことができたので、その表現論的な記述・解明を試みている。
現在、余核に現れるシンプレクティック群の既約表現に関していくつかの論文を準備している。トポロジー側から得られる余核のクラスと間のギャップに現れる既約表現の同定や、具体的な既約表現の重複度公式についてである。
他方、複数の研究打ち合わせや小規模な研究集会を開催して情報収集を行っている。特に、テンソル積表現の分解に現れる自明成分に対しては、結び目不変量の圏論化に際して導入されたウェブ基底を用いた記述がA型を中心として部分的に得られている。これらをシンプレクティック群の場合に拡張しその記述を与えることは本研究にも有用であると考えられるため、現在、共同研究に着手している。また自由群のOuter空間の表現論的な理解や"Plethysm"と呼ばれる表現論的な対象の理解が写像類群の構造に関する幾何学的な解明と関連していることが示唆されつつり、それらについての情報収集を積極的に行っている。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

Johnson準同型の余核に現れるシンプレクティック群の既約表現について、いくつかの結果を得たので、それらを論文として準備中である。また、本研究に有益ないくつかの共同研究に着手している。

Strategy for Future Research Activity

本研究では、Johnson準同型の像や余核の既約分解を記述することを一つの目的として研究を進めてきている。Johnson準同型の研究は国内外で新たな知見が様々な分野から得られてきており、それらとの比較にも目配りをしながら、今後も表現論的な手法を用いた記述を得ることを目標に研究を進める。
他方、本研究との関連で有用と思われるいくつかのテーマについて共同研究などを進めていきたい。例えば、テンソル積の自明部分を記述するウェブ基底と結び目不変量の圏論化との関係は本研究における余核の表現論的理解に役立つと考えられる。また"Plethysm"と呼ばれる表現論的な対象の幾何学的な理解やその応用として、Johnson準同型のみならず計算機科学における複雑性の理論などを考えている。また、自由群のOuter空間やrepresentation stabilityの理論なども本研究の遂行に役立つと考えられ、広く情報収集に努める。

Causes of Carryover

年度末に実施を計画していた出張を学内業務のためにキャンセルしたことにより旅費充当分を消化しきれなかった。

Expenditure Plan for Carryover Budget

次年度は、昨年・一昨年と開催してきた小規模な研究集会に加えて、自ら主宰する中規模の研究集会があり、この集会において情報提供を頂くための招聘旅費などに支出を予定している。