2016 Fiscal Year Research-status Report
作用素環論を用いた距離空間の大規模構造に関する研究
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26870598
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| Research Institution | Niigata University |
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Principal Investigator |
酒匂 宏樹 新潟大学, 自然科学系, 准教授 (70708338)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 距離空間 / 作用素環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は作用素環論と距離空間の幾何学の関連についてさらに研究を進展させることができた。とくに作用素を用いた確率論である量子確率論と離散距離空間の構造の関連を発見したことが最大の成果であった。
量子確率論はこれまでの確率変数の概念を広げることによって基礎づけされる。その新しい枠組みの中では、自己共役作用素も確率変数の一種として取り扱うことができる。自己共役作用素は様々な形で定義できるが、伝統的には量子論に現れる物理量に対応するような自己共役作用素が注目されてきた。
その一方、私のこれまでの研究では離散距離空間上のFinite Propagationをもつ作用素に注目して、距離空間の性質を調べてきた。その作用素が自己共役であるときには、確率変数として取り扱うことも可能である。この視点によって、距離空間の構造と確率論との新しい関連を発見することができた。更なる発展が期待できる。以下より具体的に平成28年度に得られた成果を説明したい。
長浜バイオ大学の西郷氏によってすでに、量子調和振動子にあらわれる昇降演算と、確率論にあらわれる逆正弦法則の関連が発見されていた。その研究をさらに推し進めるために、昇降演算から由来する離散構造(相互作用Fock空間)に注目した。相互作用Fock空間に付随して生成作用素と消滅作用素、及び維持作用素が定義される。それらの間に漸近的可換性が成り立つときに逆正弦法則があらわれることを証明し、その論文が Annales de l'Institut Henri Poincare D 掲載された。さらに類似する漸近的可換性が逆正弦法則の離散化を生み出し、その分布がBessel関数によって記述されることが証明された。系として、Bessel関数における逆正弦法則が得られた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本研究をはじめる際には予想できなかった、非可換確率論との関連が発見されたため、当初の計画以上に研究が進展しているといえるだろう。距離空間における極限操作に注目した研究を行ってきたが、それらと類似する極限操作が非可換確率論に導入できたとも言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
作用素を用いた確率論である非可換確率論との関連についてさらに研究を進める。より広いクラスの距離空間と非可換確率変数がどのように関連するのか調べていきたい。次なる一歩として、樹木(サイクルのないグラフ)上のFinite propagationをもつ作用素が与える確率変数について、研究を進展させる。また確率過程の変形である量子ウォークとの関連についても探っていく予定である。
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| Causes of Carryover |
年度末に日本数学会に参加することを決め、実際に参加した。旅行は平成28年度内に完了したが、翌年度に清算を行うこととなった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成29年3月分の旅費を平成29年度4月以降に清算する。
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