2014 Fiscal Year Research-status Report
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26870696
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| Research Institution | Nagahama Institute of Bio-Science and Technology |
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Principal Investigator |
西郷 甲矢人 長浜バイオ大学, バイオサイエンス学部, 講師 (80615154)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 量子古典対応 / 逆正弦法則 / 代数的確率論 / 相互作用フォック空間 / 直交多項式 / 量子ウォーク |
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| Outline of Annual Research Achievements |
２０世紀初頭に始まった量子物理学（量子論）は、それまでの古典物理学（古典論）によっては説明できなかった（主に）ミクロレベルの物理現象を解明するために、大きな世界像の転回を引き起こすこととなった。その際、理論構築の導きの糸となったのが、「量子古典対応」の考えである。これは、量子論のある種の「極限」として古典論があらわれるべし、という要請にほかならない。
数学的に見るならば、量子論とは、偶然現象を扱う確率論を、量の積が「非可換」（掛ける順番によって答えが異なる）な場合にまで拡張した理論のひとつと言える。
申請者は、この「量子古典対応」の数理を、非可換な確率論の一般的な枠組みである「代数的確率論」の立場から定式化し、一般化することを試みてきた。その糸口は、「量子調和振動子」と言われる系から、逆正弦法則という、確率論において様々な局面できわめて普遍的に現れる確率分布が現れるという事実であった。
今年度の研究においては、酒匂宏樹氏（新潟大学）とともに、「量子調和振動子」のみならずそれを一例として包含する「相互作用フォック空間」のかなり一般的なクラスにおいて、「量子古典対応」を通じて逆正弦法則が現れることを証明することができた。それに加え、さらにより一般のクラスにおいては逆正弦法則以外の確率分布の族が現れることを発見し、その具体形まで同定することができた。このクラスを我々は「離散逆正弦法則」と呼ぶことにしたが、離散逆正弦法則は一つのパラメータcで特徴づけられ、cが０となる極限では、逆正弦法則に弱収束する。この事実からは、かなり一般の「直交多項式」の普遍的な振る舞いについての新しい知見も導かれた。しかも、逆正弦法則のみならず離散逆正弦法則もまた、これまでは関連性が見えにくかった「量子ウォーク」の研究に現れているらしいこともわかり、この符合の背後にある深い理由の研究を進めているところである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当初の計画通り、一般的な「相互作用フォック空間」への「量子古典対応」の拡張に成功し、逆正弦法則が現れるかなり一般的な条件を解明するとともに、逆正弦法則以外の極限の存在や分類もできるようになったが、それだけではなく、この「逆正弦法則以外の極限」としてわれわれが発見した確率分布が、なんと量子ウォークの研究にも表れていることがわかり、当初の計画をはるかに超えたスピードで量子ウォークとの関連性が見えてきたから。
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| Strategy for Future Research Activity |
代数的確率論における「量子古典対応」の数理と量子物理学・量子情報の分野で研究が進められてきた「量子ウォーク」との関連性をさらに追求する。そのために、量子ウォークの研究者との議論を頻繁に行っていく。それに加え、当初の計画通り、漸近的表現論や作用素環との関連をさぐっていく。とくに漸近的表現論については、今回発見された「逆正弦法則」のが現れる条件がケロフの「直交多項式の零点の組みあい」の分布が現れる条件と同一であることを手掛かりとして研究を進める。その際、われわれが今年度得た新しい分布の登場する条件が、漸近的表現論において何を意味するかの解明から手をつけていく。
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