2015 Fiscal Year Annual Research Report
| Project/Area Number |
26887031
|
|---|
| Research Institution | Keio University |
|---|
Principal Investigator |
服部 広大 慶應義塾大学, 理工学部, 講師 (30586087)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2014-08-29 – 2016-03-31
|
| Keywords | 微分幾何学 / リーマン幾何学 / グロモフ・ハウスドルフ収束 / 超ケーラー多様体 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
距離空間を，相似変換によって縮小し続けることによって得られる極限を，無限遠点における接錐という．リッチ曲率が非負のリーマン多様体の場合，無限遠点における接錐が必ず存在することが知られている．さらに，リッチ平坦性と，ユークリッド的体積増大度と，接錐の少なくとも1つの断面が滑らかという条件をつけると，無限遠点における接錐が一意に定まることが Colding-Minicozzi によって示されている．研究代表者は，この一意性定理の仮定を弱めたもとで，一意性が成り立たない例を構成することに成功した．
研究代表者が用いたリッチ平坦多様体の例は，Anderson-Kronheimer-LeBrun によって構成された，A_∞型超ケーラー多様体と呼ばれる4次元リッチ平坦多様体である．このリッチ平坦多様体はユークリッド的体積増大度を持たないことが，研究代表者の以前の結果から知られている．A_∞型超ケーラー多様体は，3次元ユークリッド空間内の可算無限個の離散的な点の集合から構成される．この点を特にモノポールと呼ぶこともある．モノポールをどのように配置するかによって，出来上がるA_∞型超ケーラー多様体の性質が大きく変わってくる．この配置を上手くとることによって，接錐の非一意性を証明することができた．
さらに，研究代表者は，このA_∞型超ケーラー多様体の無限遠点における接錐が，3次元の non polar 空間と呼ばれる極めて特異性の高い空間となることを証明した．このような特異な空間が，リッチ平坦多様体の列のグロモフ・ハウスドルフ極限として現れることを示したのは，研究代表者の知る限りでは本研究が世界初である．
|
| Research Progress Status |
27年度が最終年度であるため、記入しない。
|
| Strategy for Future Research Activity |
27年度が最終年度であるため、記入しない。
|
