有限群の表現とその応用

1986 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 61540056
• Research Institution: Tokyo Metropolitan University
• Principal Investigator: 遠藤 静男 都立大, 理学部, 教授 (80087014)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 小島 定吉 東京都立大学, 理学部, 助教授 (90117705) ; 笹倉 頌夫 東京都立大学, 理学部, 教授 (20087026) ; 石田 信 東京都立大学, 理学部, 教授 (40087010) ; 中島 晴久 東京都立大学, 理学部, 助手 (90145657) ; 大森 常住 東京都立大学, 理学部, 助手 (50110846)
• Keywords: 群の表現 / 不変式 / 多項式環 / 有理関数体

Research Abstract

1 有限群の線型的作用による多項式環の不変部分環は、群が鏡映を含まない場合には、その作用によって完全に特徴づけられることを示した。これは、収束べき級数環のときにすでに知られていたことの大域的いいかえになっている。この結果の副産物として、有限群の作用で線型的でないものが存在するかどうかという問題が、多項式環のある種の部分環の分類の問題と密接に関係することがわかった。また、この問題の研究には、代数的茎本群を調べることが重要なことを深く認識させられた。
2 代数群の線型的作用による多項式環の不変部分環が完全交又による場合の分類を、半単純群のときにほとんど完成した。その成果は、次年度以降にまとめる予定である。不変式論において、この方向の研究は、有理関数体の部分体の有理性に関する最近得られたいくつかの顕著な結果とも深く関連するものであり、他の問題との関係、応用等を含めて、今後も研究を継続する予定である。
3 代表者等がこれまで続けて来た有限群の作用による有理関数体の不変部分体の有理性に関する研究は、これまで種々の分野の問題に応用を見出して来たが、最近ベクトル束のモジュライの問題とも関係することがわかった。この方面の研究は、本年度はほとんど行わなかったが、次年度以降に研究を継続する予定である。
4 有限群についてその表現のシュアーの指数を決定することは基本的な問題である。その中でよく知られた予想として、「単純群の表現のシュアーの指数は1か2である」というものがある。本年度は、線型群の場合にシュアーの指数の研究を押し進め、近い将来上記予想を解決するために十分な手がかりを得た。

Research Products

• [Publications] Zyozyu Ohmori: Osaka.J.Math.
• [Publications] Haruhisa Nakajima: J.reine angew.Math. 367. 115-138 (1986)
• [Publications] Makoto Ishida: 京都大学数理解析研究所講究録. 63. 72-78 (1987)
• [Publications] Nobuo Sasakura: Adv.Stud.in Pure Math.8. 527-581 (1986)