ユークリッド空間の組合せ幾何学

1987 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 62540059
• Research Institution: University of the Ryukyus
• Principal Investigator: 前原 濶 琉球大学, 教育学部, 教授 (60044921)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 山田 裕史 琉球大学, 理学部, 助手 (40192794) ; 志賀 博雄 琉球大学, 理学部, 助教授 (40128484) ; 家本 宣幸 琉球大学, 教育学部, 助手 (70161825) ; 加藤 満生 琉球大学, 教育学部, 講師 (50045043) ; 松本 修一 琉球大学, 教育学部, 助教授 (20145519)
• Keywords: グラフの埋込み / treeの埋込み / 単位距離グラフ / 有限距離空間 / 凸多面体のグラフ

Research Abstract

ユークリッド空間の組み合せ幾何学として, 特に低次元図形の埋め込みに関する研究を行った.
1.グラフの埋め込みに関して, 任期のtreeは, 隣接する2点間の距離は1より大きく, 隣接しない2点間の距離は1位かになるように, 必ず3元本空間内に埋め込むことが出来ることを証明した. (R〓dlおよび他のチエコの数学者の協力を得て, 次元をこれ以下に落とすことは出来ないことも解った. )
2.Erd〓s等の研究した単位距離グラフの拡張として, ユークリッド空間内の点集合VとVの3点の作る三角形の面積の関連を調べた. 5点以上の点の集合Vに対し, Vの中のどの3点もおなじ面積の三角形を作るならば, Vは正則な単体の頂点集合である. また, Vが十分多くの点を含み, Vの中の3点の作る三角形の面積が, r種類しかなければ, Vの中の2点間の距離はたかだか(r^3+r^2)種類しかない.
3.4点からなる距離空間(X,d)に対し, 距離関数dをd^c(0<c<1/2)に変えると(X,d^c)は必ずユークリッド空間に埋め込めることが知られている(Blumenthal). 同様な結果をn点からなる距離空間について証明した. すなわち, 任意の自然数nに対して, c(n)>0が存在して, 0<c<c(n)かつlXl=nならば, (X,d^c)はユークリッド空間に埋め込むことが出来る. 特にc(5)【greater than or equal】1/2)log_2(3/2), c(6)【greater than or equal】1/2)log_2(4/3)としてとることが出来る.
4.グラフが3次元凸多面体のグラフになるための必要十分条件を与えるSteinitzの定理について, 特別な場合(極大平面的グラフの場合)の簡単な証明を考察した.
そのほか, 研究課題の周辺領域に入る多くの結果を得たが, それ等については, 割愛する.

Research Products

• [Publications] H. MAEHARA: Graphs and Combinatorics. 4. 43-47 (1988)
• [Publications] H. MAEHARA: Bulletin of the Institute of Mathematics, Academia Sinica.
• [Publications] H. MAEHARA: Annals of Institure of Statistical Mathematics.
• [Publications] H. MAEHARA: Proceedings of Random Graph 87, Poznan, Poland.
• [Publications] S. MATSUMOTO: Progress of Theoretical Physics. 78(1). 166-175 (1987)
• [Publications] S. MATSUMOTO: Progress on Theoretical Physis. 78(4). 932-950 (1987)
• [Publications] S. MATSUMOTO: Progress of Theoretical Physics.
• [Publications] M. KATO: 琉球大学教育学部紀要. 31. 305-307 (1987)
• [Publications] N. KEMOTO: Indian Journal of Pure and Applied Mathematics. 18(3). 234-247 (1987)
• [Publications] N. KEMOTO: 琉球大学教育学部紀要. 31. 317-249 (1987)
• [Publications] N. KEMOTO: Fundamenta Mathematicae.
• [Publications] N. KEMOTO: Mathematica Japonica.
• [Publications] H. SHIGA: Annales de L′Institure Fourier de L′Universite de Grenoble. 37(1). 81-106 (1987)
• [Publications] H. SHIGA: Topology and its Applications. 25. 143-150 (1987)
• [Publications] H. YAMADA: Hiroshima Mathematiccal Journal. 17. 377-394 (1987)
• [Publications] S. MATSUMOTO: Progress of Theoretical Physics.
• [Publications] M. KATO: 琉球大学教育学部紀要. 31. 305-307 (1987)
• [Publications] N. KEMOTO: Indian Journal of Pure and Applied Mathematics. 18(3). 234-247 (1987)
• [Publications] N. KEMOTO: 琉球大学教育学部紀要. 31. 317-249 (1987)
• [Publications] N. KEMOTO: Fundamenta Mathematicae.
• [Publications] N. KEMOTO: Mathematica Japonica.