偏微分方程式の解の性質とその応用

1989 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 63540134
• Research Institution: University of Osaka Prefecture
• Principal Investigator: 岡野 初男 大阪府立大学, 総合科学部, 教授 (40079033)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 佐藤 優子 大阪府立大学, 総合科学部, 教授 (50081419) ; 石井 伸郎 大阪府立大学, 総合科学部, 助教授 (30079024) ; 今野 泰子 大阪府立大学, 総合科学部, 助教授 (70028231) ; 谷口 和夫 大阪府立大学, 総合科学部, 講師 (80079037) ; 新開 謙三 大阪府立大学, 総合科学部, 教授 (50079034)
• Keywords: 双曲型方程式 / フ-リェ積分作用素 / 特異性の伝播 / 初期値問題 / コホモロジ- / ユニタリ-表現 / 類体 / 格子経路組合せ

Research Abstract

特性根の重複度がかわる双曲型方程式は、C^∞の意味で適切かどうかはその方程式の低階によって決まる。特にC^∞の意味で適切でないような低階を与えたときは、その双曲型方程式の基本解は、その表象が共役変数ξに関して指数的増大度をもつフ-リェ積分作用素で表現される。このことをはっきり示すために、我々はまず指数的に減少するジェヴレイ関数の共役空間として超関数の属を定義する。これはフ-リェ像が任意の正数εに対してexp(ε<ξ>^<1/k>)で評価されることで特徴付けられる。この評価を超局所化したものとして超波面集合(ultra wave front set)を定義する。この超波面集合は、対称となる超関数のフ-リェ像がいかに下からexp(C<ξ>^<1/k>)(Cはある正数)で評価されるかをきっちりと表現する強力な武器となる。続いて、L_1=σ^2_t-t^<2j>σ^2_x-at^kσ_x(0【less than or equal】k<j-1)とL_2=σ^2_t-x^<2j>σ^2_x-aσ_x(j=even)という2つのC^∞の意味で適切でない双曲型方程式の初期値問題の基本解を作り,その解の超波面集合の伝播を厳密な形で求めた。前者については、t=s(<0)に初期デ-タを与えて方程式の初期値問題を解いたとき、その解の波面集合はt=0で分岐を起こし、超波面集合が生じる。これを厳密な形で求めるには、L_1の基本解を求めるときに常微分方程式d^2y/dz^2-(z^<2j>+bz^k)y=0に対するStokes係数を求めることが必要となる。次に、L_2=σ^1_t-x^<2j>σ^2_x-aσ_xに対する初期値問題は{(0,ξ)【element】R^1_x×R^1_ξ=T^*R^1_x}にのみ基本解の超波面集合が現れて来る。これを計算するためには,複素相関数を持つフ-リェ積分作用素の種々の積公式が必要となる。我々はこの一年間、超波面集合の諸性質をしらべることと複素相関数を持つフ-リェ積分作用素の種々の積公式を導くことを行なうとともに、その他関連の研究を行った。

Research Products

• [Publications] 新開謙三: "Stokes multipliers and a weakly hyperbolic operator." 発表予定.
• [Publications] 谷口和夫: "A fundamental solution for a degenerate hyperbolic operator of second order and Fourier integral operators of complex phase." 発表予定.
• [Publications] 石井伸郎: "Ring class fields modulo 8 of Q(√<-m>)and the quartic character of units of Q(√<m>)for m≡1 mod 8." Osaka J.Math.26. 625-646 (1989)
• [Publications] 佐藤優子: "Generating functions for the number of lattice paths between two parallel lines with a rational incline." Math.Japonica. 34. 123-137 (1989)
• [Publications] 今野泰子: "Cohomology of discrete subgroups of S_p(p,p)." Osaka J.Math.25. 299-318 (1988)
• [Publications] 三谷佐孝: "On the compactness of extensions." Q and A in General Topology. 6. 103-106 (1988)